2019年上海高中自主招生数学 专题14 锐角三角比(学案)

专题14 锐角三角比（学案）

在直角三角形中，由一直元素求出所有未知元素的过程，称为解直角三角形。

在直角三角形中，知道一条边和一个锐角，或者知道两条边，就可以求出其他的边和角。

一、专题知识

1. 基本公式

（1）如图14-1所示，在△ABC=90°，三个内角A、B、C的对边依次为a、b、c，

ababsinA，cosA，tanA，cotA。

ccba（2）△ABC的内角和为180°。

1（3）△ABC的面积S=底高

22. 基本结论

（1）锐角A的三角比sinA、cosA、cosA、cotA之间有下列三组关系 A、平方关系：cos2Asin2A1

sinAcosA B、商数关系：tanA cotA

cosAsinA1 C、倒数关系：tanA

cotA

（2）在三角形中，大角对大边，反之亦然。

（3）在三角形中，任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

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二、例题分析：

例题1 已知△ABC中ACB90，ABC15，BC1，求AC的长。 如图14-2所示，作BAD15，交BC于D，则ADBD,ADC30

14-3所示）中，A30，C-B60，若BC2，求AB的长。 例题2 已知△ABC（如图

例题3 已知△ABC中，AB23,AC2,BC边上的高为3，求BC的长。

例题4 如图14-5所示，建筑物AB高为200米，从定点A观察到另一建筑物CD的顶点C和底部D点，俯角分别为30°与45°，求建筑物CD的高度

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三、专题训练

专题练习

1. 如图14-6所示，在△ABC中，A30，AB5，AC23，求tanB的值。

372. 已知直角三角形的一个锐A满足条件：0＜A＜45且sinAcosA ，求sinA的值。16

3. 在△ABC中，A：B:C1:2:3，且ab2，求c。

14. 如图14-7所示，在梯形ABCD中，AD//BC，ADABCD4，COSC

4（1）求BC的长； （2）求tanADB的值。

5. 如图14-8所示，在直角三角形ABC中，

C90，AD是A的平分线，CD6，DB26，求三角形ABC的三边长。

6. 如图14-9所示，已知四边形ABCD中，AB=42，BC1，CD3,B135 C90，求D。

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7. 如图14-10所示，在△ABC中，C90，斜边AB上的高为CD,AB4,BC6， 求CD的长。

8. 如图14-11所示，在等腰直角三角形ABC中，C90，点D在CB的延长线上， 且BDAB,求cotADB的值 。

9. 三角形ABC中，a2

3,b6,A30，解这个三角形，并求出三角形ABC的面积。10. 如图14-12所示，A城气象局测得台风中心在A城正西方向300千米的B处，以107千米/时

200千米的范围会受到台风的影响。 的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风

（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？

（2）如果A城受到台风影响，那么受影响的时间是多少？

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专题作业

1. 如图14-13所示，三角形ABC中，B60°，BC=6，AC=9，求三角形ABC的面积。

2. 如图14-14所示，三角形ABC中，C90°，sinB73，D是BC上一点，且cotDAC，AB226=13，求AD的长。

3. 如图14-15所示，为提高河堤的防洪能力，要加固全长为1000米的河堤，大坝高5米，坝顶宽4米，迎水坡和背水坡都是坡度为1:1.5，已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米？

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