《数学》教案
教材版本：精英版. 学 校： . 教 师 课 时 教材分析 年 级 四年级 2课时 课 题 授课时间 年 月 日 第10讲 长方形、正方形面积的特殊求法 本讲内容是在学生已经熟练掌握了长方形、正方形面积计算的基础上学习的。旨在通过本讲内容的拓展，使学生进一步体会长方形、正方形面积计算的过程中，掌握一些面积计算的常用解题方法，以及一些可循性规律，并能够灵活运用这些知识，解决相关问题。 例题部分稍有难度，建议师生合作完成。拓展问题作为例题的变式练习，学生完成即可。 拓展延伸题目，作为课堂选讲内容。 1.使学生进一步掌握长方形、正方形面积的意义和计算方法。 2.探索当两个长方形的一边相等时，则它们的面积与另一边存在相同的倍数关系。 3.探索正方形面积的另一种计算方法：对角线×对角线÷2。 1.使学生在探索活动中进一步积累认识图形的学习经验。 教学目知识技能 数学思考 2.建立空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维和抽象思维。 1.使学生经历和体验“复杂问题简单化”的解题策略和方法。 另一边存在相同的倍数关系。 标 问题解决 2.经历问题解决的过程，体会两个长方形的一边相等时，则它们的面积与 情感态度 3.培养学生观察、分析、比较、概括和解决实际问题的能力。 1.让学生在探索的过程中体验到成功的喜悦。 2.培养学生主动参与、探索的学习积极性。 3.使学生进一步体验图形与生活的联系，感受平面图形的学习价值，提高数学学习的兴趣。 教学重点： 1.探索当两个长方形的一边相等时，则它们的面积与另一边存在相同的倍数关系。 教学重点、难点 2.探索正方形的面积=对角线×对角线÷2。 教学难点： 根据实际生活的问题情境，灵活地运用长方形、正方形的面积，解决相关问题。 教学准备 动画多媒体语言课件
第一课时 复备内容及讨论记录 一、导入 师：图形王国中有各种各样的图形成员，大家能列举一些出来吗？ 生：…… 师：图形王国中有这么多的成员，老师听说最近图形王国中不太安分了，发生了一些事情，究竟是什么呢？我们去一探究竟。 （播放导入） 师：怪物抓着两个小正方形不放，我们能否帮助正方形将军救出他们呢？ 二、教学新授 （一）呈现问题1 例1：（如图）将两个正方形并排放在一起，已知它们的面积差为40平方分米，边长之和是20 分米，那么这两个正方形的面积分别是多少平方分米？ 教学过程 1.学生读题，观察图形。 2.师生互动，合作完成。 师：知道了面积差，知道边长之和，但是现在要求两个正方形的面积，乍一看，好像这些数之间并没有什么关系，怎么才能建立联系呢？大家先找一找，画一画这两个正方形的面积差是哪个部分呢？ （学生尝试找出面积差，教师出示课件解析）
师：面积差是哪部分呢？你有什么发现？ 生：如果将面积差分开来看的话，是由一个正方形的面积和两个完全一样的长方形的面积组成的。 师：题中还有一个条件没有用到，两个正方形边长之和是20，如何利用这个条件呢？ （提示学生，能否通过分割，拼接的方式，构造出边长之和呢？） 学生小组讨论，汇报思路。 3.学生列式解答，请一名学生板演，全班集体指正点评。 （教师出示课件答案，规范学生解题步骤） 4.总结交流。 解决图形类问题时，尽量将已知条件，转化到图形之中，通过分割、拼接等方法，化未知为已知，得出结果。 答案： 40÷2=2（分米） 小正方形： 边长：(20-2)÷2=9（分米） 面积：9×9=81（平方分米） 大正方形： 边长：9+2=11（分米） 面积：11×11=121（平方分米） 答：小正方形的面积是81平方分米，大正方形的面积是121平方分米。 （二）呈现问题2 （播放过渡场景） 例2：这块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角和番茄。其中栽种茄子的面积是25平方米，栽种豆角的面积是50平方米，栽种黄瓜的面积是110平方米，而且左上角栽种茄子的田地恰好是一个正方形。请问：剩下的栽种番茄的田地面积是多少？
1.学生读题，明确题意。 2.师生互动，教师引导。 师：我们知道，图形王国中，正方形将军的武器是“边长×边长”，但是怪物不让用武器，那么同学们有什么好的办法吗？先观察图形中，各个小图形的面积，你有什么发现？ 生1：茄子的面积是25平方米，豆角的面积是50平方米，豆角的面积是茄子的2倍。 生2：种豆角的田地和种茄子的田地有一条公共边。 师：一条边相等，面积是2倍关系，那么另一条边之间存在什么关系呢？ （学生小组讨论，汇报交流） 生：另一条边也应该是2倍关系。 师：借助这个规律，你能求出栽种番茄的田地面积吗？ 生：因为番茄和黄瓜的土地，一条边相同，另一条边之间是2倍关系，所以面积之间也应该是2倍关系，所以番茄的面积是110÷2=55平方米。 师：我们没有利用正方形的武器，借助倍数关系，解决了这个问题，如果我们借助武器呢？根据面积公式能求出来吗？你的突破口是什么？ 生：题目中说左上角的茄子田地是一个正方形，面积是25平方米，可以求出茄子田地的边长，也就是番茄田地的宽的长度，进而根据其它两块面积，求得番茄田地的长，从而可以求得面积。 3.学生列式解答。 4.教师总结。 当两个长方形的一边相等时，则它们的面积与另一边存在相同的
倍数关系。 答案： 方法一： 50÷25＝2 110÷2=55（平方米） 答：剩下的栽种番茄的田地面积是55平方米。 方法二: 25=5×5 110÷(50÷5)=11（平方米） 5×11=55（平方米） 答：剩下的栽种番茄的土地面积是55平方米。 （三）呈现问题3 （播放过渡场景） 例3：用四个如图这样的直角三角形拼出的正方形面积可能是多少平方厘米？ 1.学生读题。 2.师生合作，共同分析。 （学生可剪出4个两条直角边分别是2厘米和4厘米的三角形，然后进行拼图，全班集体交流） 师：通过大家动手，发现，四个这样的直角三角形可以拼成下面的图形： ① ② ③ 师：大家认为这几个图形，哪个面积更容易求呢？怎么求？ 生：第二个面积是4个直角三角形的面积之和，求出其中一个三角
形的面积，再乘4，就是组成的大正方形的面积。 师：我们再来看第一个图形，面积如何求呢？ 生1：利用边长×边长，求出正方形的边长。 师：大家能都求出这个边长呢？ （尝试失败） 师：利用边长×边长的方法求不出来，应该如何求呢？ 生2：可以用4个直角三角形的面积之和加上小正方形的面积。 师：直角三角形的面积很容易求出来，那么小正方形的面积呢？ 生：小正方形的边长是直角三角形的大直角边减去小直角边的长度。 3.同桌之间相互讲解，学生完成解答。 答案（课件上给出两种不同的拼法）： 情况一： 4×2×2=16（平方厘米） 所以拼出的正方形面积可能是16平方厘米。 情况二： (4-2)×(4-2)=4（平方厘米） 16＋4＝20（平方厘米） 所以拼出的正方形面积可能是20平方厘米。 4.总结交流。 师：同学们还能拼出哪些正方形呢？有兴趣的同学们可以课后探索。 三、巩固应用、尝试成功。 （一）拓展问题1 1.如图，两个正方形摆放在一起，阴影部分的面积是32平方厘米。两个正方形面积的差是多少平方厘米？
1.学生读题，分析图形。 2.师生合作，提示引导。 师：这道题目要求两个正方形的面积之差，我们应该先怎么办呢？ 生：先找到这两个正方形相差的面积是哪一部分。 （学生画图） 师：观察图形，面积之差和已知的阴影部分面积之和有什么关系呢？ 生：两个正方形面积之差正好是阴影部分面积之和的2倍。 3.学生列式，整理思路。 4.教师总结。 答案： 32×2=（平方厘米） 答：两个正方形的面积差是平方厘米。 （二）拓展问题2 2.如图，九个小长方形组成一个大长方形，且的小长方形恰好是一个正方形。图中的数字为所在小长方形的面积，那么A、B所在的长方形面积是多少？ （本题是例2的变式练习，学生完成即可） 答案： A为40，B为20。 （三）拓展问题3
3.如图,一个边长不超过8厘米的大正方形中有三个面积都是25平方厘米小正方形叠放在一起。已知它们覆盖的面积之和是55平方厘米，大正方形的面积是多少平方厘米？ 1.学生读题，观察图形。 2.师生合作，教师引导。 师：题目中已知覆盖面积之和是55平方厘米，覆盖面积是指那一部分呢？大家在图中标出来。 师：空白部分的两个长方形面积是多少呢？容易求出来吗？提示大家能否借助平移等变换，使图形看起来更规则呢？ （学生小组讨论，汇报交流，教师出示课件解析。） 师：大家通过平移得到了这个图形，观察图形，你有什么发现？ 生1：①的面积+②的面积+③的面积=55平方厘米。 生2：②的面积是25平方厘米。 生3：②和③是两个完全相同的长方形，可以求出来是15平方厘米。 师：分析到这里，要求大正方形的面积，该如何求？ 生：根据已求出了其余三个图形的面积，求出由上角正方形的面积，然后四部分相加，就是大正方形的面积。 3.学生整理思路，完成列式解答。 4.总结交流。 答案： (55-25）÷2=15（平方厘米）
因为25=5×5，15÷5＝3（厘米） 则3×3=9（平方厘米） 55+9=（平方厘米） 答：大正方形的面积是平方厘米。 四、课堂小结。 这节课我们结合题目，熟练的应用正方形，长方形面积公式，解决了一些特殊的面积问题，大家都掌握了吗？休息一下，下节课我们继续学习。
第二课时
复备内容及讨论记录 一、导入 师：通过上节课的学习，老师发现同学们正方形和长方形面积的应用掌握的非常好，这节课我们继续来学习，相比上节课难度有所提高啊，大家有信心接受挑战吗？ 二、教学新授 （一）呈现问题4 例4：有一个正方形（如图），请将它的面积扩大一倍，扩大后还是一个正方形，保留画图过程。 教学过程 1.学生读题，明确题意。 2.教师引导。 师：现在正方形的面积是多少？扩大一倍后是多少呢？ 生：现在的面积是4平方厘米，扩大一倍后是8平方厘米。 师：要画出这个正方形，该怎么办呢？大家尝试画出已知正方形的对角线，你有什么发现？ 生：连接两条对角线之后，分成了4个完全相同的小三角形，要使面积扩大一倍，需要这样的8个小三角形。 师：那么如何通过作图实现呢？ 生：可以把每块小正方形翻折后得到的正方形面积就扩大一倍。 （学生作图） 师：大家观察刚刚画出的正方形，面积是8平方厘米，边长和原来的什么相等？ 生：对角线。 师：大家的观察很敏锐，现在有下面的一个问题，看看同学们能不能根据刚才的启示解答。
3.学生整理思路，同桌间相互讲解。 4.总结交流。 使学生在探索中灵活掌握已知对角线求正方形面积的方法。 三、巩固应用、尝试成功。 （一）拓展问题4 4.如图，它是一个边长为4厘米的正方形，请在图中画出一个面积是8平方厘米的正方形，保留画图过程。 1.学生读题，分析题目。 2.师生合作，教师提示。 师：现在这个正方形的面积是多少？如何能够在原图中，画出面积是8平方厘米的正方形呢？ 生：现在的面积是16平方厘米，要再减去8平方厘米。 师：大家小组讨论，怎样能减少8平方厘米呢？如果一整块面积不可以的话，能否分割成几部分呢？ （小组讨论） 生：可以减去4个面积是2平方厘米的三角形。 3.学生尝试画图完成。 4.教师总结。 （二）拓展问题5 5.如图，大正方形由两个小正方形和两个完全相同的长方形组成，已知正方形ABCD的面积是18平方厘米，正方形PDMQ的面积是8平方厘米，那么大正方形的面积是多少平方厘米？
1.学生读题，理解题意。 2.师生合作，互动完成。 师：结合已知及图形，大长方形的面积如何表示与计算？ 生：大长方形的面积=18+8+2×长方形面积。 师：那么现在问题主要集中在求这两个完全相同的长方形面积上。 我们知道长方形面积=长×宽，但是长和宽都不知道，该怎么办呢？ 大家能否用长方形的长和宽，分别表示出已知的两个正方形的面积吗？ 生：18=长×长，8=宽×宽。 师：显然这个长和宽我们都没办法求出来，我们尝试转化思路，如果能求出长×宽这个整体，问题就迎刃而解了。如何能够构成出“长×宽”呢？ 生：将两个式子相乘，就是长×长×宽×宽=18×8，可以求出长×宽。 3.学生完成，同桌之间相互交流。 4.总结交流。 答案： 18×8=144=12×12 18+8+12×2=50（平方厘米） 答：大正方形的面积是50平方厘米。 （三）拓展问题6 6.一个挂件由两个正方形组成，两个小正方形对角线长分别是2厘米和4厘米，将挂件沿对角线剪掉一半，剩下部分如图，求空白部分的面积。 1.学生读题，观察图形。 2.师生合作。 师：空白部分的面积怎么求？
生：大三角形面积-小三角形面积。 师：这两部分都是正方形的一半，已知了对角线的面积，如何求得空白部分的面积呢？ 生：利用对角线×对角线÷2，求得正方形的面积，再除以2，就可以分别求得两个三角形的面积。 3.学生列式解答。 4.总结交流。 答案： 4×4÷2÷2=4（平方厘米） 2×2÷2÷2=1（平方厘米） 4-1=3（平方厘米） 答：空白部分的面积是3平方厘米。 四、拓展视野 王奶奶准备用长米的篱笆借助一面墙围成一个长方形鸡圈。问长和宽各取多少时，围成的面积最大？围成的面积是多少平方米？ 1、 学生读题，理解题意。 2、 教师提问引导。 师：已经知道了在长方形周长一定的情况下，什么时候面积最大？ 生：周长一定，当长和宽的差越接近时，面积越大。 师：这种情况我们考虑的是周长包含四条边，再回到这个题，借助一面墙围成一个长方形，那么用篱笆围的只有长方形的三条边，这种情况下，面积怎样才会最大呢？ （学生小组讨论，教师巡视指导） 师：老师刚刚看到有小组在尝试画表格，但数字略大，列表格情况比较多，现在我们假设篱笆长是16米和12米，同学们能填出长、宽可能性的表格吗？ 3、 学生填表，发现规律。 ①当篱笆长为12米时
②当篱笆长为16米时， 师：同学们观察刚刚列出的表格，从表格中你发现了怎样的信息？ 生：随着宽的逐渐增大，长逐渐减小，面积先增大，然后减小。 师：大家观察，当篱笆长为12米时，面积最大的时候，长和宽分别是多少呢？当篱笆长是16米时呢？ 生：篱笆长是12米时，当宽为3米，长为6米时，面积最大。篱笆长是16米时，当宽为4米，长为8米时，面积最大。 师：再进一步观察，宽和长之间有怎样的关系呢？ 生：长是宽的2倍。 师：当长方形的周长只计算三条边（借助一面墙），长是宽的2倍时，面积最大，这个是不是一般规律呢？大家现在小组合作，相互举例验证一下吧。 4、 学生小组讨论，验证规律。 师：通过验证，大家发现是不是都是这样呢？ 生：…… 师：知道了这个规律，是不是这道题目便迎刃而解了呢？大家自己动手解答吧。 5、 学生列式解答，集体校对答案。 （请一位学生上台板演） 6、 小结规律。 当长方形的周长只计算三条边时，长是宽的2倍时，面积最大。 答案： 假设宽是1份，则长便是2份。
宽：÷（1+1+2）=16（米） 长：16×2=32（米） 面积：16×32=512（平方米） 答：长是32米，宽是16米时，围成的面积最大。最大面积是512平方米。 五、课堂总结 1.注意长方形、正方形的边长关系，并学会表示出它们的面积差。 2.当两个长方形的一边相等时，则它们的面积与另一边存在相同的倍数关系。 3.正方形面积计算公式： 边长×边长 或 对角线×对角线÷2 拓展问题答案： 1.32×2=（平方厘米）
答：两个正方形的面积差是平方厘米。
2.A所在的长方形面积是40，B所在的长方形面积是20。 3.大正方形的面积是平方厘米。 4.（1）取各边中点
（2）连接各边中点 （图略） 5.18×8=144=12×12
18+8+12×2=50（平方厘米） 答：大正方形的面积是50平方厘米。 6.4×4÷2÷2=4（平方厘米） 2×2÷2÷2=1（平方厘米） 4-1=3（平方厘米）
答：空白部分的面积是3平方厘米。