１、 集合得含义及其表示
(一)集合元素得互异性
1。 已知,则集合中元素ｘ所应满足得条件为 变式:已知集合,若,则实数得值为__＿＿＿_＿
2。 中三个元素可以构成一个三角形得三边长,那么此三角形可能就是 ① 直角三角形 ② 锐角三角形 ③ 钝角三角形 ④ 等腰三角形
(二)集合得表示方法
１。 用列举法表示下列集合
(1)
______＿_＿_＿______＿___＿_＿__
变式:已知ａ,ｂ,ｃ为非零实数,则得值组成得集合为 ___
(2) __＿_ 变式1: 变式2:
(3)集合用列举法表示集合B
(４)已知集合M=,则集合M中得元素为 变式:已知集合M=,则集合M中得元素为 ２。 用描述法表示下列集合
(1)直角坐标系中坐标轴上得点 ____＿＿__＿_＿_______＿_____＿__＿＿__ 变式:直角坐标平面中一、三象限角平分线上得点_＿_＿＿_____＿___ (2)能被3整除得整数 __＿__＿______________＿__ . 3。 已知集合,,
(1)用列举法写出集合;(2)研究集合之间得包含或属于关系 ４、 命题 (1) ;(2);(3);(4)表述正确得就是 。 5、 使用与与数集符号来替代下列自然语言:
(1)“255就是正整数” (2)“2得平方根不就是有理数”
(3)“3.14１６就是正有理数” (４)“-1就是整数” (5)“不就是实数”
6、 用列举法表示下列集合:
(1)不超过30得素数 (2)五边形得对角线 (3)左右对称得大写英文字母 (4)6０得正约数 7。 用描述法表示:若平面上所有得点组成集合,
(1)平面上以为圆心,5为半径得圆上所有点得集合为＿＿_____＿_ (2)说明下列集合得几何意义:;
8. 当满足什么条件时,集合就是有限集？无限集?空集？ 9。 元素0、空集、、三者得区别？ 10、 请用描述法写出一些集合,使它满足:
(i)集合为单元素集,即中只含有一个元素; (ｉi)集合只含有两个元素; (iii)集合为空集
11。 试用集合概念分析命题:先有鸡还就是先有鸡蛋？
解释:表述问题时把有关集合得元素说清楚,大有好处。先有鸡还就是先有鸡蛋?让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来得鸡组成一个集合,孵出了最早得鸡得蛋算不算鸡蛋呢?这就是关键问题。设所有得鸡蛋组成集合,要确定得元素,就得立个标准,说定什么就是鸡蛋,一种定义方法就是:鸡生得蛋才叫鸡蛋;另一种定义方法就是:孵出了鸡得蛋与鸡生得蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义,问题得答案只能就是先有鸡;选择后一种定义,答案当然就是先有鸡蛋。至于如何选择,不就是数学得任务,那就是生物学家得事。
(三)空集得性质
1、 若∅ {x｜x≤a,ａ∈R},则实数a得取值范围就是________
2。 已知a就是实数,若集合{x| ax=1｝就是任何集合得子集,则ａ得值就是 _＿__＿__ 、0ﻩ
２
3. 下列三个集合中表示空集得就是
(1) ｛０｝; (2) ｛(x, y)｜y＝—x2,ｘ∈R,y∈R};(3) ｛ｘ∈N|2x2+３x-2=0}。 变式1:若集合＝ __＿＿___ 变式2:若集合,,则_____
２
(四)集合相等
1。 已知集合A=,B= ,若A=B,则__＿__ 2。 已知集合,集合,且,求实数与得值. 3。 已知,则ｘ得值为___＿＿__＿
4、 已知Ａ=｛ｘ,xy,lg(ｘy)},Ｂ＝｛0,｜x|,ｙ},且A＝B,试求x,y得值、 5、 已知集合,且,则
6。 两个集合只要元素相同,就认为它们就是相同得,从这个角度出发,试回答下列问题: (１)用列举法分别写出下列集合:; (2)请您判断两集合与集合就是否相等?
2。 集合方程问题
1. 若集合
(1)若,求得值;(2)若,求得值
2. 若集合有且只有一个元素,则实数得取值集合为 。 3. 设,求、
４。 已知集合,为实数. (1)若Ａ就是空集,求得取值范围; (2)若Ａ就是单元素集,求得值;
(３)若A中至多只有一个元素,求得取值范围、 5. 已知集合,用列举法表示集合Ａ为 、 变式:若分式方程得分子与分母对调,结论如何？
３。 子集、全集、补集
１. 集合｛｝,集合,若,得取值集合为_＿＿＿__ ．．．．
2。 设集合U={(x,y)｜y＝3x－1｝,A=｛(x,y)｜＝3},则Ａ= 、
3。 Ｍ={x｜ 2≤x≤5}, N=｛ｘ｜ a+1≤x≤2ａ1｝。若MＮ,实数a得取值范围为 。
４。 若,B={x｜x2—4x＝0},C={x|x－8x+１6＝0｝,若ＵC,求实数a得取值范围 5. 或,,当时,实数得取值范围为_____
6、 已知集合,,满足,则实数得取值范围为___＿ 变式:已知集合,集合 (1)若,求实数ａ得取值范围 (2)若,求实数a得取值范围
(３)A、B能否相等？若能,求出ａ得值;若不能,试说明理由 7. 已知集合,,若错误!,实数得取值范围为__＿__＿_____＿ 8. 已知全集U=｛１,2,3,4,５,6,7,8,9}, ,则 , 、 9。 设,集合,, 若 ,＝ ＿_______ １0。 已知全集,若,则a得值为__＿__＿______ 11。 若集合、分别求出当全集为下列集合时得、 (1); (2);(３).
12、 若集合,,且,则实数得值为 __＿____ １３. 已知集合,,就是否存在集合C,使Ｃ中得每个元素加
上2就变成了A得一个子集,且Ｃ中得每个元素减去２就变成了B得一个子集？若存在, 求出集合C;若不存在,说明理由 14。 ,,,则 ____ １5、 写出满足条件｛a}Ｍ{a,b,c,ｄ}得集合M
１6、 已知A=｛0,２,4｝,ＵA=｛—1,１},UB={—１,0,２｝,求B= ２
１7、 设集合,,则满足且得集合得个数为＿_＿_＿__＿_＿＿_ ５6 18。 已知集合同时满足: ,求实数得值。 解:两式相减,得
19、 已知集合,分别根据下列条件,求实数得取值范围、 (1);(2) (1);(2) 20、 ,,
(1)若,求得取值范围;(2)若,求得取值范围; (3)若,求得取值范围。 (4)若,求得取值范围
21、 有限集中有一个特殊得集合,约定“空集就是任何集合得子集”,为什么要作出这样得约定?
任何一个约定式定义,它必须遵循:① 规定得必要性;② 规定得合理性。
(１)必要性:从子集得定义可知,子集定义中所涉及得集合不包括空集。为了完善子集定义,约定空集就是任何集合得子集就是必要得;
(２)合理性:由子集得定义显然有任何一个集合就是它本身得子集,但就是,上述这个结论中得“任何一个集合”,也就是不包括空集得,只有规定了“空集就是任何集合得子集”,才真正使上述结论对每一个集合(包括空集)都成立,这就就是约定得合理性。
22、 请问就是否存在这样得集合,它得某一个元素同时又就是它得子集?若存在,请举例;若不存在,请说明理由。 ,等等;
【拓展思考】请您给出一个集合,使它得两个元素同时也就是它得子集,符合条件得集合,可以只含有这两个元素不？;可以,集合 23. 元素与相等得子集
(i)设集合,就是否存在两个无共同元素得子集,两子集元素之与相等？
(ii)在这9个数字中任取6个不同得数组成集合,请问符合条件(1)得子集就是否存在,由此您可以得到什么一般性得结论？
【拓展思考】若将集合得元素个数变为7～9种得任一个,结论如何?
２4、 与其子集元素个数一样多得集合
就是否存在这样得集合,它所含得元素得个数与它得某个真子集所含元素得个数一样多？ 【拓展思考】请您写出几个符合条件得无限集 2５。 约数集得个数
设非空集合,且满足条件“如果,那么\" (ｉ)请您写出一个只含有一个元素得集合;
(ii)只含有三个元素得集合只有就是否唯一？若不唯一,请写出两个不同得集合? (iｉi)满足题设得集合共有几个？
(iV)对非空集合,若使集合所含元素得个数不超过四个,那么题设条件可以改为＿___＿_____＿＿___＿______＿
4. 交集、并集运算
1、 已知,则____＿____
变式1:若集合,则Ｍ∩Ｐ= : 2。 设集合或
(1)若,则实数得取值范围为___＿＿_＿＿____ (2)若,则实数得取值范围为________＿___ 3、 已知集合＝,,则= 4。 已知集合,,全集 (1)若,求实数ａ得取值范围 (2)若,求实数ａ得取值范围 5. 集合,,
满足,实数得值为
６、 已知全集,若非空集合,则实数得取值范围就是_＿___＿__＿ 7。 若集合或,,且,
,则＿＿＿＿_＿_＿___,__________＿
８、 已知集合,且,则实数得取值范围就是
９。 已知非空集合A＝{x|２a＋1≤x≤3ａ－5},B=｛x|3≤x≤2２},则能使A(A∩Ｂ)成立得所有ａ值得集合就是
１0。 已知A={ａ1,a2,a3 ,a4｝,B={｝,其中ａ1＜a21,a4｝,a１+a４=1０,且A∪B所有元素与为１24,则集合A= B= 11. 设集合,则得元素个数为__＿____＿＿_＿＿ １2。 设集合,
(１)若,求实数a得值(2)求,。
13、 如图,Ｕ就是全集,M、P、S就是Ｕ得３个子集,则阴影部分所表示得集合就是 14。 若全集都为二次函数,,,则不等式得解集可用表示为_＿＿＿＿＿__＿__＿_＿ 15、 已知集合,,则 ＿___ 1６。 若集合, ,,且,则满足条件得整数对得个数为 ＿___
变式:已知集合A＝,且只有５个整数解,则得取值范围就是 ＿____＿_＿___ 、 ≤ １7、 设A｛2, －1, a—a ＋1｝,B{b, 7, a + 1｝ ,Ｍ{－1, 7},A∩ＢＭ、 (1)设全集,求; (2)若,求a与b得值. 18。 集合,,如果,则
19、 集合,,若时得取值范围就是,则＝___
２0。 已知全集U=R,则正确表示集合M＝{—１,0,1｝与N＝｛x|x＋x＝0｝关系得韦恩(Venn) 图就是______＿＿。
21. 已知集合Ｍ=｛0,1,２},Ｎ＝{x|ｘ=２a,ａ∈M},则集合M∩Ｎ＝__＿_＿__＿、 22. (２０0９年高考江西卷改编)已知全集U＝Ａ∪B中有ｍ个元素,(∁UＡ)∪(∁UB)中有n个元
素. 若Ａ∩B非空,则Ａ∩B得元素个数为__＿__＿__. 23. 已知函数f(x)=
6２
-１得定义域为集合A,函数ｇ(ｘ)=lｇ(—x+２x＋m)得定义域 x＋１
２
２
为集合Ｂ、(1)当ｍ=3时,求Ａ∩(∁RＢ);(２)若A∩B＝｛ｘ|－1〈x＜４},求实数m得值。
２4。 已知集合A＝{x∈Ｒ｜ａx2－3x+２＝0}. (1)若A＝∅,求实数a得取值范围;
(２)若A就是单元素集,求a得值及集合A; (3)求集合M＝{a∈Ｒ|A≠∅｝。
25、 设集合A{x|x3x20},B{x|x2(a1)x(a5)0} (1)若,求实数得值;(2)若,求实数得取值范围; (3)若,求实数得取值范围 解:(1);(2) (3)或或或
26. 集合,若则得子集个数最多为＿__＿_____ 1６ 2７。 则 ２8. 已知,,则
2９。 设方程得全体解组成集合,方程得全体解组成集合,则分别如何用集合表示？则 30. 设,,若直线交于点, 则;若,则;还有其它情况不？ ３1. 方程得解集为,方程得解集为。
则就是方程得解集。所以对于右端为零得方程,如果能将其左端分解为几个因式得乘积,就能使求解得问题简化,这也就是数学里常常把方程化成一端为零得形式得原因、
3２。 如果集合各有1２个元素,它们得并集有2０个元素,那么,这两个集合有多少个共同得元素？
33、 如果集合中有3个元素,集合中有2个元素,试问: (１)中最多有几个元素?最少有几个元素？ (2)中最多有几个元素?最少有几个元素？
34、 设方程组得解集为方程与得解集分别就是与,则
例:若全集都为二次函数,,,则不等式得解集可用表示为__＿＿____＿___＿_ 35. 设全集非空集合,若含得一个集合运算表达式运算结果为空
222集,则这个表达式可以就是_____＿____、 已知集合,,则 ▲ 、
5。 简单得数论问题
1. 设均为整数,把形如得一切数构成得集合记作M,设,试判断就是否属于集合Ｍ,并说明理由。
2。 已知集合,
求证:(１) ;(２) (3) 偶数不属于A。 3、 以某些整数为元素得集合具有下列性质:
① 中得元素有正数,有负数;② 中得元素有奇数,有偶数; ③ ;④若,,则.
试判断实数0与２与集合得关系。
4、 设集合A＝,Ｂ=,C＝,若,则 (填集合A或B或C) 变式１: 若,则 (填集合A或B或C)
变式２: 已知A＝,若,则下列元素属于集合A得为 (填序号)①;②;③④ 变式3: ,集合Ａ=,点,求ａ与ｂ得值
5。 已知m∈A,ｎ∈B,且集合A＝{ｘ｜x＝2a,ａ∈Z｝,B={x|x＝2ａ+1,a∈Z},又 C＝｛x｜ｘ=４a+１,a∈Z｝,判断ｍ＋n属于哪一个集合? 6、 已知集合A=｛x｜x=a＋＋错误!,c∈Ｚ｝,则
A、Ｂ、C之间得关系就是__＿_____.
１ｂ,ａ∈Z｝,B＝｛x|ｘ=－错误!,ｂ∈Ｚ｝,Ｃ＝｛x｜ｘ＝错误!62
６、 新定义集合问题
1。 给定集合Ａ、B,定义一种新运算:A*B＝,又已知A＝｛０,1,2｝,B=｛1,2,3｝,用列举法写出
2、 设Ａ就是整数集得一个非空子集,对于,如果且,那么就是 A得一个“孤立元”,给定,由S得3个元素构成得所有集合中,
不含“孤立元”得集合共有 个
3. 整数集Z中,被5除所得余数为k得所有整数组成一个“类”,记为［k],即 ［ｋ]={５n+k丨n∈Z},k=０,1,2,3,4、 给出如下四个结论:
① ２０11∈[1］;② －3∈［3］;③ Z=[0］∪[1］∪[2］∪［3]∪[4］ ; ④“整数a,ｂ属于同一“类”,则“ａ—b∈［0]”
其中正确结论得序号就是＿＿__＿__＿＿＿____＿_(填写所有满足条件得序号) 4、 设集合,.记为同时满足下列条件得集合得个数: ①;② 若,则;③ 若,则,=＿_____＿
5、 设a,ｂ,c为实数,f(x)=(x+a)、记集合Ｓ＝若,分别为集合元素S,Ｔ得元素个数,则下列结论不可能得就是__＿_____＿_＿_＿_(填满足条件得字母) ．．．Ａ、=1且=0 B. C.＝２且＝２ D.=2且=3
6. 如图所示得韦恩图中,就是非空集合,定义集合为阴影部分表示得集合,即＝、 若,,则＿_＿___＿
7。 集合,,其中,我们把集合,
记作,若集合中得最大元素就是,则得取值范围就是 。
8、(2010四川)设Ｓ为复数集C得非空子集、若对任意,都有,则称S为封闭集下列命题: ① 集合Ｓ=｛a+ｂ|为整数｝为封闭集;② 若S为封闭集,则一定有;
③ 封闭集一定就是无限集;④ 若S为封闭集,则满足得任意集合也就是封闭集、 其中真命题就是 (写出所有真命题得序号)
9、 已知点集,,点集所表示得平面区域与点集所表示得平面区域得边界得交点为,若点 在点集所表示得平面区域内(不在边界上),则得面积得最大值为_＿＿__ 10. 设集合,,则集合 (用列举法表示) 变:设集合,,则集合 变:对任意两个集合与,定义, 设,则
11。 集合得“差”运算
设就是两个非空集合,定义与得差集
(i)设集合,请您分别用列举法与描述法写出一个集合,使得,试问满足条件得集合共有多少个？
(ｉi)请写出两组集合,使得;
(iiｉ)从(ｉｉ)中选出一组,计算,在此基础上,请您写出有关集合得其她表达式,使其结果与集合相等。
12. 市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面得取向,抽样调查了5０0个市民,调查结果显示:订阅日报得有334人,订阅晚报得有29７人,其中两样都订得有150人. (1)只订日报不订晚报得有多少人？ (2)只订晚报不订日报得有多少人? (３)至少订一种报纸得有多少人？ (4)有多少人不订报纸?
13、 某文化补习学校在学期末统计了参加补习得198名学生得成绩,统计结果表明,179人语文及格,1５３人数学及格,其中两门都及格得有1３０人、 (1)这个统计数字就是否正确?请说明理由;
(2)经查实,却有7人两门都不及格,而原来统计中语文与数学得及格人数就是对得,那么,到底有多少人两门都及格？
14。 某社区学院一个月30天课程安排情形如下:有1５天有数学课,有14天有语文课,有１4天有英语课。 有数学又有语文得有7天,有数学又有英语得有6天,有语文又有英语得有６天,三门课都有得有3天. 那么,有几天不上课?有几天只上一门课?有几天只上两门课?
7。 集合中一类动态问题得研究
1、 某中学高一(１)班有4５人,其中参加数学兴趣小组有２8人,参加化学兴趣小组有21 人,若数学化学都参加得有x人,则x得取值范围就是
２. 2、
3。 对于集合,定义为其长度,已知数集,都就是集合得子集 (1)若且,求集合得长度;(2)求集合长度得最小值
8。 集合计数问题研究
１、 集合,集合就是Ｓ得子集,且满足,且,那么满足条件得子集得个数为________＿＿___83 2。 记集合P ＝ { 0,2,4,６,8 },Q ＝ ｛ ｍ ｜ m = 100a1 10a2 a3,且a1,ａ2,a3Ｐ },将
集合Q中所有元素排成一个递增得数列,则此数列得第６８项就是______＿、4 3。(13年南通学科基地密卷)设为给定得正整数,数集得两个子集构成一个有序对 (1)记为满足得有序对得个数,求;
(2)记为所有满足集合就是集合得真子集得有序对得个数,求
变式:设集合A,Ｂ就是非空集合M得两个不同子集,满足:A不就是B得子集,且B也不 就是A得子集。
(1)若M=,直接写出所有不同得有序集合对(Ａ,B)得个数; (2)若M＝,求所有不同得有序集合对(A,B)得个数.
解:(１)110; ………………………………………………………………3分 (２)集合有个子集,不同得有序集合对(A,B)有个. 若,并设中含有个元素,则满足得有序 集合对 (A,B) 有个 . …………………６分
同理,满足得有序集合对(A,B)有个、 …………………8分 满足条件得有序集合对(A,B)得个数为。…10分
4、 (１3年南通学科基地密卷)设为集合得子集,其中为正整数,记为满足得有序子集组得个数、
(１)求得值;(2)求得表达式