线性代数秩逆

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一、 矩阵的秩

定义1 在一个mn矩阵A中，任意选定k行和k列（kminm,n），位于这些选定的行和列的交点上的k2个元素按原来的次序所组成的

kk矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

例1 在矩阵

10A0011214

0050003中，选第1,3行和第3,4列，它们交点上的元素所成的2阶行列式

310515

就是一个2阶子式。又如选第1,2,3行和第1,2,4列，相应的3阶子式就是

11102410. 005定义2 非零矩阵的不为零的子式的最高阶数称为该矩阵的秩，零矩阵的秩规定为0。矩阵A的秩记为rankA。

例2 证明：矩阵A与其转置矩阵AT有相同的秩。

例3 证明：阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数。

证 设A是一个阶梯形矩阵，不为零的行数是r。选取这r个非零行以及各非零行第一个非零元素所在的列，由这些行和列交点上的元素所成的r阶子式是一个上三角行列式，并且主对角线上的元素都不为零，因此它不等于零。而A的所有阶数大于r的子式都至少有一行的元素全为零，因而子式为零。所以rankAr。

由于矩阵的子式的阶数不超过矩阵的行数及列数，所以mn矩阵A的秩rankAminm,n。而如果rankAm，就称A是行满秩的；如果

rankAn，就称A是列满秩的。此外，如果A的所有r1阶子式全为

零，由行列式的定义可知，A的r2阶子式也一定为零，从而A的所有阶数大于r的子式全都为零。因此秩有下面等价的定义：

定理1 mn矩阵A的秩为r充分必要条件是：在A中存在一个r阶

3

子式不为零，且在rankAminm,n时，矩阵A的所有r1子阶式都为零。

定理2 初等变换不改变矩阵的秩。换句话说，等价的矩阵具有相同的秩。

证 设Amn经初等行变换变为Bmn，且rankAr1,rankBr2。当对A施以交换两行或以某非零数乘某一行的变换时，矩阵B中的任何

r11阶子式等于某非零数c与A的某个r11阶子式的乘积，其中c1或其他非零数。因为A的任何r11阶子式皆为零，故B的任何r11阶子式也都为零。

当对A施以第i行的k倍加到第j行的变换时，矩阵B的任何一个

r11阶子式B1，若它不含B的第j行或既含第j行又含第i行，则它等

于A的一个r11阶子式；若B1含B的第j行但不含第i行，则

B1A1kA2，其中A1,A2是A的两个r11阶子式，由A的任何r11阶子式均为零，知B的任何r11阶子式也全为零。

根据以上分析，若对A施以一次初等行变换得到B，则r2r11，即

r2r1。由于B可经一次适当的行变换变回A，同样地就有r1r2。所以r1r2。

显然，上述结论对列变换也成立。

现在我们来看一下，怎样计算一个矩阵的秩。因为初等变换不改变矩阵的秩，而阶梯形矩阵的秩就等于它的非零行的个数。所以，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等变换把它变成阶梯形（根据第一节定理1，仅用行的初等变换就可以做到），这个阶梯形矩阵中非零行的个数就是原来矩阵的秩。

例4 设

1641461323A，

2015332050求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式。

解 对A作初等行变换，使之变成阶梯形：

4

6414164141r2rr2r4031431131104A r3r2015341012971132050016128121641416414r33r20r4r3043114311r44r200048000480004800000，

因为上式右端阶梯形矩阵的非零行数是3，所以rankA3。

再求A的一个最高阶非零子式。由rankA3知，A的最高阶非零子

33C540个，要从中找出一个非零子式式是3阶的，A的3阶子式共有C4是比较麻烦的。

如果B是矩阵A仅用行的初等变换变成的阶梯形矩阵，用B的各非零行第一个非零元素所在的列按在B中的次序构成矩阵B1，把A中相应列按在A中的次序构成的矩阵记作A1。那么B1也是阶梯形的，它的非零行个数与B的相同，并且就等于B1的列数。因此，B1是一个与B有相同秩的列满秩矩阵。同时，用那些将A变成B的行变换可将A1变成B1，这说明A1是与A有相同秩的列满秩矩阵。考虑到A1是由A的某些列按在A中的次序构成的矩阵，A1的子式必是A的子式，A1的最高阶非零子式必是A的最高阶非零子式。 在本例中，

1641416116111043041326BBA，，。 11000480042050000005003234个，其中必有不为零的，如子式 A1的三阶子式只有C412601632 532 5

就不为零，那么它也是A的一个最高阶非零子式。

例5 设

1112A312，

536已知rankA2，求与的值。

12111112cc24解 A03440443

r35r100458548r23r1r3r211120443， 0015因rankA2，故10,50，从而1,5。

例6 证明：矩阵添加一列（或一行），则秩或不变，或增加1。 证 设矩阵Aaijmn的秩为r。在A中任意添加一列

TBb1,b2,,bm，通过一些列的交换，总可以使所得矩阵变成

~~AA,B，而秩不变。因此我们只需研究A的秩与A的秩之间的关系。

~~~用初等行变换将A化成阶梯形矩阵A1，相应地，A的子矩阵A也化成~了A1A1,B1的mn阶子矩阵A1，并且A1也是阶梯形的，其非零行都在

~矩阵的上部。因为rankAr，所以A1恰好有r个非零行。这样，A1的~~前r行也都是非零行。如果A1只有这r个非零行，则rankAr。要不然，

~~A1的第r1行也是非零行。这时，因为A1只有r个非零行，所以A1的第~只有最后那个元素不为零，由于A1是阶r1行的前n个元素必定都是零，

~梯形矩阵，A1的第r1行之后的各行（如果还有的话）必定都是零行，~因此，rankAr1。

这就证明了添加一列的情形，类似地可证明添加行的情形。 定理2还说明，在mn矩阵A的标准形

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Er0mr,r0r,nr 0mr,nr中，rrankA。从而，n阶方阵A非退化的充分必要条件是nrankA。

二、 逆方阵

定义3 对于方阵A，如果存在同阶方阵B，使得

ABBAE

则称A可逆，B就称为A逆矩阵，记为A1。

若方阵A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的。事实上，如果A还有一个逆矩阵C，则由定义ACCAE，所以

CECA1ACA1ACA1EA1

下面要解决的问题是：在什么条件下方阵A是可逆的？如果A可逆，怎样求

A1？

定义4 设Aij是方阵

a11a12a22aA21an1an2中元素aij的代数余子式，矩阵

a1na2n annA11A12*AA1n称为A的伴随矩阵。

由行列式的定义和性质立即得出

A21A22A2nAn1An2 AnnAA*A*A如果A0，那么

A000A000AE A 7

1*1*AAAAAAE （11—3—1）

定理 矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化，而

A11*A A1证明 当A0，由（11—3—1）可知，A可逆，且A1*A。 A反过来，如果A可逆，那么有A1，使AA1E，两边取行列式，得

AA1E1，因而A0，即A非退化。

逆方阵适合以下规律：

AAAA11T11TAB1B1A1kA11A1,k0kA1A1

其中A,B都是可逆方阵，k是不为零的常数。

推论 对于同阶方阵A,B，如果ABE，那么A,B都是可逆的并且它们互为逆矩阵。

证 BEBAABA11ABA1EA1

1不难看出，初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵还是初等矩阵。事实上

Pi,jPi,j,PikPik1,Pi,jkPi,jk。

11定理 n阶方阵A可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积： 定理 两个矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩。特别地，当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一因子的秩。

证 设A是一个lm矩阵，B是一个mn矩阵，并且rankAr。由第一节定理2，可以用初等变换将A化为

ErA100。 0 8

换句话说，存在l阶初等矩阵P1,,Ps和m阶初等矩阵Ps1,,Pt，使

P1PsAPs1PtA1，

于是

111P1PsABP1PsAPs1PtPt1Ps1BA1PtPs1BA1B1，

11这里B1PtPs1B。显然，A1B1除了前r行外，其余各行的元素都是零，所以

rankA1B1r。另一方面，P1PsAB是由AB通过初等行变换而得到的，所以

它与AB有相同的秩。这样就证明了rankABrankA。同理可证

rankABrankB。

如果A,B中有一个，例如A是可逆矩阵，那么一方面rankABrankB；

BA另一方面，

1AB，rankABrankB。所以rankBrankAB。因此，

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