数学建模案例分析2生态系统--差分方程方法建模

一、一阶常系数线性差分方程

yn1aynf(n)(n0,1,2,)

其通解是对应齐次方程

yn1ayn0(n0,1,2,)

的通解ynC(a)n加上原方程的一个特解y*。y*的算法是待定系数法。

（1）f(n)Pm(n)m次多项式

0,a1 ynQm(n),k1,a1*k（2）f(n)bdn指数函数

0,ad yAnd,k1,ad*kn二、应用举例

设想在一个长满了青草的小荒岛上栖息繁衍着一群野兔。开始时共有野兔y0只，我们来研究其数目随时间变化的规律。假设第n年野兔的数目用yn表示。记第0年的野兔数为y0。 （1）先作如下的假设：

下一年野兔的净增加数目和上一年的数目成正比，且比例系数是一个常数，记为K(K1)。 这种假设是很合理的，因为在野兔的食物——青草非常充足的条件下，一年内新出生的野兔数和成年母兔数成正比，而成年母兔数又和野兔总数成正比，因而一年内新出生的野兔数和野兔总数成正比。另一方面，一年内死亡的野兔数大体也和野兔总数成正比。这样，第n年野兔的净增加数（出生数减去死亡数）ynyn1和上一年野兔的数目yn1成正比，即可以列出方程：

ynyn1Kyn1

移项整理后得到方程

ynKyn1 （1） 这里KK1。

这是一阶常系数齐次线性差分方程。可以计算出第n年的野兔总数为yny0K。

n

这个描述野兔数目的模型是否合理呢？假设K1.4，y0100，计算对应的yn值列表如下：

n 0 yn 100

1 140

2 196

3 274

4 384

8 10 15 20 83 668

50 20(亿)

1 475 2 3 15 576

这是一个按指数增长的量，由表中数据我们发现，50年后野兔的总数为20亿！

也许有人会认为K1.4太大，但是对于一年可以生育2~3次的兔子来说K1.4不应该算太大。问题可能出在这个小岛上青草是否能够支持这么多的野兔生存下来？其实，这个模型最严重的缺陷就是没有反映野兔生存资源对野兔种群的约束。于是我们要改进模型。

（2）进一步的模型 设想小荒岛上的青草最多可以养活y只野兔。y是自然资源所能承担的野兔的最大容量。我们修改关于野兔数目的假设如下：

下一年野兔的数目和上一年的数目成正比，比例数K(yyn1)，即与上一年的野兔数目有关。 这样我们得到方程

ynK(yyn1)yn1 （2）

我们先来看看假设的合理性。方程（2）等价于

ynK(yyn1) yn1方程左端

（3）

yn是前后两年野兔数目的比值。当yn1与y之差(yyn1)是一个较大的数时，说yn1明自然资源还有较大的能力支持野兔种群的扩大，下一年的野兔总数yn可以有一个较大的增长。当yn1与y之差(yyn1)是一个较小的正数时，说明自然资源已没有更多的能力支持野兔种群的扩大。甚至当K(yyn1)1时，野兔总数还会减缩。

由于无法求出方程（3）的一般解，作为例子，取K0.000015，y10亿，计算得yn的数值如下表：

n 0

1 2 3 4 8 10 15 20 30 40 33 333

50 33 333

yn 100 150 224 336 502 2 441 5 168 21 945 32 579 33 332

我们发现，随着时间n的发展，yn会越来越趋于33333，这个数是自然资源和野兔内在增长机制之间的一个平衡量。

yn随时间n变化的曲线大体呈S状，此时我们称yn符合S增长规律。这里的数字33333可以

从方程直接求得。设想随着时间的推移，野兔的数目不再变化，记为M,方程(2)中的yn和yn1都用M代入，得到方程

M0.000015(105M)M （4）

约去M后得到M33333。

其实，对于许多其他的问题，在一定的情况下也可以得到与上面模型一样的方程。 1、人口问题 把yn看作第n年某地区的人口数，人口的变化也大体符合上面的规律。例如有人统计，当第一批移民在美洲定居时，人口数就大体符合指数增长的规律。而在工业发展后的19~20世纪，人口数就大体符合S型增长的规律。

2、传染病的传播过程 设某个城市居民总数为M，yn为第n天已经患有某种传染病的居民人数。第n1天尚未患传染病的人数为(Myn1)。由于传染病主要是通过健康人和病人的接触而传播，而健康人和病人的接触机会与这两种人数的乘积yn1(Myn1)成正比，因而我们假设第n天新增加的病人数ynyn1与yn1(Myn1)成正比。由此可列出下面的方程：

ynyn1ayn1(Myn1)

其中a0为一个比例常数。

移项整理后，得到的方程和方程（2）类似

1yn1) a1把这里的a0看作方程（2）中的K，把M看作方程（2）中的y，这里的方程就和方程（2）

aynayn1(M完全一样。

3、学习过程 心理学指出，任何一种技能的获得和提高都要通过一定时间的学习。例如，一个人打字速度会随着训练时间的增加而提高。我们用yn表示一个人学习n个单位时间后的技能水平，例如用y5表示一个人学习打字5天后在打字机上每分钟能正确地打出的汉字数。假设一个人技能的进步和现在的技能水平成正比，比例系数为常数K，我们可以得到下面的方程：

ynyn1Kyn1

整理后我们得到指数型增长的方程：

yn(K1)yn1

在实验中，这个方程反映的变化过程仅在学习最初阶段和实际是比较相符的。从理论上讲，一个人的技能不会无地增长，到一定阶段后，一定会受到人的体力、智力的制约。因而我们对模

型要作修正。

现在不再保留“比例系数为常数”的假设，改为“比例系数与现在的技能水平有关”。例如设

Kr(yyn1)

其中r是一个常数，y是由人的体力、智力决定的一个极限水平。这样我们得到方程 ynyn1ryn1(yyn1) 整理后可以将上述方程化为标准的S型增长模型。

我们也可以从另一个角度来看学习知识的过程。设用yn表示一个人在学习过程中第n个月所具有的知识量。在学习过程中我们要考虑两种机制：知识的获得和遗忘。关于这两种机制，我们作如下的假设：

（1）新获得的知识和现有的知识成正比、比例系数为常数r。这个假设反映一个人的知识越多，他学习新知识就越快。

（2）遗忘的知识和现有的知识成正比，且比例系数K和现有的知识yn1有关，例如Ksyn1，其中s为一个常数。根据心理学的研究，遗忘是人脑的一种自我保护的本能，这个假设隐含着人的大脑受一定的能力。 这样我们可以得到下面的方程

ynyn1ryn1syn1yn1

整理后可以将上述方程化为标准的S型增长模型：

yn(1rsyn1)yn1

这里的模型都是指数型或S型增长模型的例子，它们常常出现在各种科学领域的文献中。但是我们不能由此而误解动态模型只有这两种。事实上，动态系统由于不同的特点，其数学模型是极其丰富的。