圆锥曲线第一问求轨迹方程
一、解答题（本大题共19小题，共228.0分）
1. 已知圆C： ，点 ， ， 是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P
在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E． 求曲线E的方程；
若直线l： 与曲线E相交于 ， 两点，O为坐标原点，求 面积的最大值．
2. 已知圆A： 和定点 ， ， 是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，
设点N的轨迹为C． Ⅰ 求C的方程；
Ⅱ 若直线 与曲线C相交于 ， 两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有 ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 3. 已知平面上的动点 ， 及两定点 ， ， ， ，直线 ， 的斜率分别是 ， 且 ．
求动点P的轨迹C的方程；
设直线l： 与曲线C交于不同的两点 ， ．
若 为坐标原点 ，证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值
若直线 ， 的斜率都存在并满足 ，证明直线l过定点，并求出这个定点．
4. 设P是圆 上的动点，点D是P在x轴上投影，M为线段PD上一点，且 ．
当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
过点 ， 且斜率为 的直线交轨迹C于 ， 两点，若点 ， ， 求的面积．
5. 已知点M与点 ， 的距离比它的直线l： 的距离小2．
求点M的轨迹方程；
， 是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过x轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．
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6. 已知动点P与双曲线
的两焦点 ， 的距离之和为大于4的定值，且 的最大值为9．
求动点P的轨迹E的方程；
，求实数 的取值范围． 若 ， 是曲线E上相异两点，点 ， 满足
7. 在四边形ABCD中，已知 ， ， ， 点B在x轴上 ，且对角线 ．
求点C的轨迹T的方程；
若点P是直线 一5上任意一点，过点p作点C的轨迹T的两切线PE、PF、E、F为切点 为EF的中点 求证： 轴或PM与y轴重合：
在 的条件下，直线EF是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是 请说明理由．
8. 如图，已知点 ， ，直线m： ， 为平面上的动点，过点P作m的
垂线，垂足为点Q，且 ．
求动点P的轨迹C的方程；
， 的直线 与 文 过轨迹C的准线与y轴的交点M作方向向量为
轨迹C交于不同两点A、B，问是否存在实数a使得 ？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由； 文 在问题 中，设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为 ， ，求 的取值范围．
． 9. 已知点 ， 、 ， ，若动点P满足
求动点P的轨迹C；
在曲线C上是否存在点Q，使得 的面积 ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．
10. 已知动点P与平面上两定点 ， ， ， 连线的斜率的积为定值 ．
试求动点P的轨迹方程C．
设直线l： 与曲线C交于M、N两点，求
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， ． 11. 已知 ， ， ， ，点C、D依次满足
求点D的轨迹；
过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为 ，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程；
在 的条件下，设点Q的坐标为 ， ，是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线 ， 都相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．
． 定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足
Ⅰ 求点P的轨迹曲线C的方程；
的最大值． Ⅱ 若过点 ， 的直线与曲线C交于M、N两点，求
在平面直角坐标系xOy中，已知点 ， ， ， ，动点C满足： 的周长为 ，记动点C的轨迹为曲线W． Ⅰ 求W的方程；
Ⅱ 曲线W上是否存在这样的点P：它到直线 的距离恰好等于它到点B的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
Ⅲ 设E曲线W上的一动点， ， ， ，求E和M两点之间的最大距离．
设 ， 为抛物线C： 上的两个动点，过 ， 分别作抛物线C的切线 ， ，与x轴分别交于 ， 两点，且 ， ． Ⅰ 求点P的轨迹方程
Ⅱ 求证： 的面积为一个定值，并求出这个定值．
12.
13.
14.
y轴上的动点 、N不重合 ， ． 15. 已知定点 ， ， 分别为x轴、且 ，点P在直线MN上，
求动点P的轨迹C的方程；
设点Q是曲线 上任一点，试探究在轨迹C上是否存在点T？使得点T到点Q的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T的坐标，若不存在，说明理由．
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SG的垂直平分线与SC交于点 设点E16. 已知定点 ， ， 是圆C： 为圆心 上的动点，
的轨迹为M． 求M的方程；
是否存在斜率为1的直线l，使得直线l与曲线M相交于 ， 两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
17. 设点 ， 到直线 的距离与它到定点 ， 的距离之比为 ，并记点P的轨迹为曲线C．
Ⅰ 求曲线C的方程；
Ⅱ 设 ， 的，过点M的直线l与曲线C相交于 ， 两点，当线段EF的中点落在由四点
， ， ， ， ， ， ， 构成的四边形内 不包括边界 时，求直线l斜率的取值范围．
18. 在 中， ， 、 ， ， 、AC边上的中线长之和为9．
Ⅰ 求 重心G的轨迹方程
Ⅱ 设P为 中所求轨迹上任意一点，求 的最小值． 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C上任意一点到点 ， 的距离与到直线 的距离相等．
Ⅰ 求曲线C的方程；
Ⅱ 设 ， ， ， 是x轴上的两点 ， ，过点 ， 分别作x轴的垂线，与曲线C分别交于点 ， ，直线 与x轴交于点 ， ，这样就称 ， 确定了 同样，可由 ， 确定了 现已知 ， ，求 的值．
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答案和解析
【答案】
1. 解： Ⅰ 点Q在线段AP的垂直平分线上， ． 又 ， ．
曲线E是以坐标原点为中心， ， 和 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆． 设曲线E的方程为
， ．
， ， ． 曲线E的方程为
．
Ⅱ 设 ， ， ， 联立
y，得 ． 消去
此时有 ．
由一元二次方程根与系数的关系，得 ，
，
， 原点O到直线l的距离
．
，由 ，得 ．
又 ，
据基本不等式，得 当且仅当
．
，
时，不等式取等号．
面积的最大值为 ．
2. 解： Ⅰ 圆A： ，圆心 ， ，由已知得 ，又 ，所以
，所以由椭圆的定义知点N的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，设其标准方程C：
，
则 ， ，
所以 ， ，所以曲线C：
．
Ⅱ 设存在点 ， 满足题设，联立直线 与椭圆方程 ， 设 ， ， ， ，
则由韦达定理得 ，
消y得
，
由题设知OR平分 直线RP与直RQ的倾斜角互补，即直线RP与直线RQ的斜率之和为零， 即 ，即 ， 即 ，
把 、 代入 并化简得 ，即 ，
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所以当k变化时 成立，只要 即可， 所以存在定点 ， 满足题设．
3. 解： 由题意得 ， ，即 ．
动点P的轨迹C的方程是
．
设点 ， ， ， ，联立 ，化为 ，
．
， ．
，
若 ，则 ， ，
，化为 ，此时点O到直线l的距离
．
，
，
，
， 代入化为
，化简得 ，解得 或 ．
当 时，直线l恒过原点；
当 时，直线l恒过点 ， ，此时直线l与曲线C最多有一个公共点，不符合题意， 综上可知：直线l恒过定点 ， ．
， 4. 解： 设M的坐标为 ， ， 的坐标为
， 由，解得：
在圆上，
，即 ，整理得
．
直线 ： ，代入C的方程，整理得： 由韦达定理可知： ， ， 线段AB的长度为
，
点F到AB的距离为 ，故 ．
5. 解： 由题意知动点M到 ， 的距离比它到直线l： 的距离小2，
即动点M到 ， 的距离与它到直线 的距离相等，
由抛物线定义可知动点M的轨迹为以 ， 为焦点的抛物线， 则点M的轨迹方程为 ；
法一：由题意知直线AB的斜率显然不能为0，
设直线AB的方程为 ， ， ， ， 联立方程 ，消去x，可得 ，
即 ， ， ， ，
，则 ， 由题意知 ，即
， ， ，
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直线AB的方程为 ，
直线AB过定点，且定点坐标为 ， ；
法二：假设存在定点，设定点 ， ， ， ， ， ，
， ， ， 又 、B在抛物线上，即 ， 代入上式，可得 又 、B、P三点共线， ，
， ，
，
假设成立，直线AB经过x轴的定点，坐标为 ， ．
6. 解： 双曲线 的焦点 ， ．
设已知定值为2a，则 ，因此，动点P的轨迹E是以 ， ， ， 为焦点，长轴长为2a
的椭圆． 设椭圆方程为
．
，
， ， 动点P的轨迹E的方程
；
设 ， ， ， ，则由点 ， 满足 ，得：
且三点共线，设直线为l，
， ，
当直线l的斜率存在时，设l： ，则将直线的方程代入椭圆的方程，化简得： ，根据根与系数的关系得：
， ，
将 ，代入，消去 ，得：化得：
，
，
解之得：实数 的取值范围为 ， 7. 解： 设点 ， ， ，则 ， ， ， ， ， ．
， ，即 ． 点C的轨迹T是去掉顶点的抛物线． 对函数 求导得， ．
，则过该切点的切线的斜率为 ． 设切点 ，
． 切线方程为
． 设点 ， ，由于切线经过点 ，
化为 ．
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， ， ． 设点 ，
则 ， 是方程 的两个实数根，
， ．
．
因此当 时，直线PM与y轴重合； 当 时，直线PM与y轴平行．
． 点 ， ． 又
．
直线EF的方程为： ，即 当 ， 时，方程 恒成立．
对任意实数t，直线EF恒过定点 ， ． 8. 解： 设 ， ，由题意， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，得 ， 由
化简得 所以，动点P的轨迹C的方程为 ．
轨迹C为抛物线，准线方程为 ，即直线m，所以 ， ， 当 时，直线的方程为 ，与曲线C只有一个公共点，故 ．
得 ， 所以直线的方程为 ，由
由 ，得 ．
设 ， ， ， ，则 ， ， 所以 ， ，
若 ，则 ，即 ， ， ， ， ， 解得 所以 ．
由 ，得线段AB的中点为 ， ， 线段AB的垂直平分线的一个法向量为 ， ，
所以线段AB的垂直平分线的方程为 ， 令 ， ，
因为 ，所以 ． 所以 的取值范围是 ， ．
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9. 解： 设动点 ， ，又点 ， 、 ， ，
， ， ， ， ， 分
，得 ， 分 由
，故 ，即
．
轨迹C是焦点为 ， 、长轴长 的椭圆； 分 设曲线C上存在点 ， 满足题意，则 分 ，
又 ，故 分
，
分
分
，
曲线C上存在点
使得 的面积 分
10. 解： 设 ， ，则 ，
动点p与定点 ， ， ， 的连线的斜率之积为 ，
，即
又 时，必有一个斜率不存在，故 综上点P的轨迹方程为
将直线l： 代入曲线C方程 ，
，整理得
， ， 11. 解： 设 ， ， ， ， ， ． ， ， ，则 ，
代入 ，得 ．
所以，点D的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆
设直线l的方程为 椭圆的方程
；
由l与圆相切得： ， ．
将 代入 得： ， 又 ，可得 ， 有 ，
，
，解得 ．
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椭圆方程为
．
假设存在椭圆上的一点 ， ，使得直线 ， 与以Q为圆心的圆相切， 则Q到直线 ， 的距离相等，
， ， ， ， ： ， ： ，
，
化简整理得： ，
点P在椭圆上， ，
解得： 或 舍 时， ， ，
椭圆上存在点P，其坐标为 ， 或 ， ，使得直线 ， 与以Q为圆心的圆 相切． 12. 解： Ⅰ 设 ， ， ， ， ， ，
得， ， ， ， 由
， 分 即
又因为 ，所以 ，
化简得：
，这就是点P的轨迹方程 分
Ⅱ 当过点 ， 的直线为 时， ， ， ，
当过点 ， 的直线不为 时，可设为 ， ， ， ， ，
联立 ，化简得： ，
由韦达定理得： ， ， 分
又由 恒成立， 分 得 ，对于上式，当 时， 的最大值为 分 综上所述
13. 解： Ⅰ 设 ， ， 的周长为 ， ，
又 ， ，
根据椭圆的定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为 的椭圆 除去与x轴的两个交点 ． 从而 ， ， 的方程为
；
Ⅱ 存在两个点 ， 和 ， 满足题意． 事实上，假设存在点P满足题意，则点P为抛物线 与曲线
y得： ． 由 消去
解得 或 舍去 ．
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的交点，
把 代入抛物线的方程得 ．
所以存在两个点 ， 和 ， 满足题意． Ⅲ 设 ， ，则由
得 ，且
．
若 ，即 时，当 时， ； 若 ，即 时，当 时， ．
， 14. 解： Ⅰ 设 ， ， ， ， ， 则
同理，
，即
联立 ， ，得
又令 ， 式中的 得 ， ， ，
因为 ，所以得 即 ，代入 式得 所求点P的轨迹方程为： ；
Ⅱ 设MN： ，又由 ，得 所以 ， 到MN的距离为
．
的面积为定值2
15. 解： 设点M、N的坐标分别为 ， ， ， ， ， ，点P的坐标为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则
由 得 ，------------ ---------- 分
得 ， -------------------------------------- 分 由 ， 代入 得 ---------------------------------------- 分
， ，
动点P的轨迹C的方程为 ------------------------------------- 分
曲线 ，即 ，是以 ， 为圆心，以1为半径的圆，
设 T为轨迹C上任意一点，连接TB，则 -------------------------------- 分 当 最小时， 最小 --------------------------------------------------- 分 点T在轨迹C上，设点
，
--------------------------------- 分
当 ，即 时， 有最小值， ----------------------- 分 当 时，
在轨迹C上是存在点T，其坐标为 ， ，使得 最小， -- 分
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16. 解： 由题知 ，所以 ．
又因为 ，所以点E的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆， 动点E的轨迹方程为
分
假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于 ， ， ， 两点，其方程为 ，
消去y，化简得 ． 由
直线l与曲线M相交于 ， 两点， 解得 又由
，
．
因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，
，所以 所以
又 ，
，
解得
由于 ， ，
所以符合题意的直线l存在，所求的直线l的方程为 或
17. 解： 点 ， 到直线 的距离与它到定点 ， 的距离之比为 ，
曲线C的方程为 ；
Ⅱ 设直线l的方程为 ，设 ， ， ， ，线段EF的中点 ， ，
直线方程代入椭圆方程可得 由 ，可得
， ，
， 点G不可能在y轴的右边
直线 ， 的方程为 ，
点G在正方形内的充要条件为 ，即
．
综上可知， ．
18. 解： Ⅰ 设AC、AB边上的中线分别为CD、BE
，
定值
因此，G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆， ，
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， ，可得椭圆的方程为
当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成 的纵坐标不能是0，可得 的重心G的轨迹方程为
；
Ⅱ 由题意，P为椭圆短轴顶点时， 最大， 最小．
19. 解： Ⅰ 因为曲线C上任意一点到点 ， 的距离与到直线 的距离相等，
根据抛物线定义知，曲线C是以点 ， 为焦点，直线 为准线的抛物线， 设抛物线方程为 ，可得 ，解得 ，
故抛物线方程为 即为所求曲线C的方程； 分
， ， ， Ⅱ 由题意，得 ，
则
，
分 故直线 方程为：
令 ，得 ，即 分
， ， ，可得
同理可得 ， 分
于是求得 的值为 分
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