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谈“一题多变”在高中数学教学中的运用
作者：陆烨
来源：《理科考试研究·高中》2016年第05期
高中数学不仅要让学生掌握基本的知识理论和解题方法，更重在培养他们的思维能力，强化他们的数学思想，丰富他们的解题思路和方法，以此培养学生的学习能力，促进学生全面发展.新课程背景下，学生综合能力要求更高，如何在减轻学生负担和提升综合能力方面做好平衡，是每一个教师重点思考的问题.一题多变能够让学生从题海战术中解脱出来，减轻他们课业负担，又能够锻炼他们的数学思维，丰富数学思想，从不断变化的数学现象中找到数学的解题规律，找到培养他们的数学学习方法，促进学生综合能力发展，培养高素质人才. 一、通过变式激活思维，打开学生解题思路
一题多变让学生看到一道试题，能够从不同的角度变化，联系到不同的知识，应用不同的解题方法，破除学生僵化的思维和单一的解题思路，让学生在变与不变中感知知识的相互联系.一道数学题，通过不断变化条件，可以让学生从多角度思考，培养学生的数学敏感度，提高学生的综合运用能力.学生从不断变化的现象中感知数学的美妙，培养他们的数学兴趣，锻炼学生发散思维能力，培养学生创新能力.
例如，直线l的斜率为1，与抛物线y2=4x相交于点A、B，并且经过该抛物线的焦点，试求线段AB的长度.
这道试题可以从找到抛物线焦点入手，学生很容易找到其焦点为（1，0），再根据其斜率求出线段AB所在的直线l方程y=x-1，然后将其与抛物线组成方程组，快速求出试题的答案.这是传统的解题方法，然后再给学生提供一些类似的试题，让学生反复训练，浪费时间，效果也不明显.通过一题多变，引入更多的知识点，构建更多的知识间关系，增加一定的难度，拓展他们的思路，激活思维.
变式1 直线l的斜率为1，与抛物线x2=4y相交于点A、B，并且经过该抛物线的焦点，试求线段AB的长度.
这样的变化相对容易一些，但可以拓展他们的思路.
变式2 直线l的斜率为1，与抛物线x2=4py相交于点A、B，并且经过该抛物线的焦点，O是坐标原点，由点A、B向抛物线的准线作两条垂线， A、B为垂足，试问A点、O点、B点是否共线？
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这个变化相对变式1知识容量增加了不少，难度也有一定的增加，传统方法不能快速解决.此时教师可以引导学生分析，耐心地向学生分析变化和知识点的联系，从将几何思维和代数思维统一起来，以此启发学生的思维，利用坐标来实现思维和解题方法转化.也可以引导他们通过向量思考，运用向量方法解题.这样，一道习题通过不断变化和引导，让学生掌握更多的知识，又能培养他们的思维能力，丰富解题方法. 二、坚持循序渐进，做到有的放矢
高中数学针对相关的知识点，设置了一定的典型例题和习题，这些习题和例题是帮助学生巩固知识、锻炼能力的重要媒介.传统的例题和习题安排都是教师讲解例题，学生做巩固练习.这样的教学模式能够让学生熟悉一些基本的题型，掌握一定的解题方法，但是，知识和能力相对单一.如果运用一题多变，那么能够实现例题和习题的高效利用，又能够促进学生思维能力的提升.这些例题和习题都是基本题型，按照循序渐进的策略，围绕学生的思维能力和创新能力，进行灵活变化，编制一题多变，优化重组习题，能够更好地提升他们的综合素养. 例如，一道习题：已知一动圆M与圆O1：（x-1）2+y2=1外切，与圆O2：（x+1）2+y2=9内切.求动圆圆心M的轨迹的方程.安排作业练习的时候，围绕这道习题做好一题多变，优化组合试题.
1.已知一动圆M与圆O1：（x-1）2+y2=1外切，与圆O2：（x+1）2+y2=9内切. 求动圆圆心M的轨迹 的方程.
2.已知圆O1：（x-1）2+y2=1、圆O2：（x+1）2+y2=9，一动圆M同时与它们外切，求动圆圆心M的轨迹的方程.
3.已知圆O1：（x-1）2+y2=1、圆O2：（x+1）2+y2=9，一动圆M同时与它们内切，求动圆圆心M的轨迹的方程.
4.已知圆O1：（x-1）2+y2=1、圆O2：（x+1）2+y2=9，若一动圆M同时与它们一个内切，一个外切，求动圆圆心M的轨迹 的方程.
习题2是对习题1的模仿，让学生熟悉利用定义法来求轨迹方程，习题4让学生进一步熟悉定义法求轨迹，后三个习题能够让学生充分理解和掌握利用圆锥曲线定义来求解轨迹，由常规来推导，循序渐进，围绕中心学习目标，引导学生不断探索，逐步提升综合思维能力. 三、重视纵向联系，确保温故知新
建构主义教育理念强调学生知识构建，接近知识的最近发展区，把握纵向联系，以此实现知识延伸和能力提升.中国教育思想一直重视温故知新，在原有知识和能力的强化巩固基础
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上，不断丰富新的知识能力.一题多变需要关注知识间的纵向联系，引导学生温故知新.紧密联系以前学过的知识，让学生能够掌握新知识的同时，更好地复习巩固旧知识，提高学习效率. 例如，斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.
变式1：经过抛物线的焦点的弦与抛物线相交于两点A、B，以线段AB为直径的圆与抛物线的准线的关系是
A.相交 B.相切 C.相离 D.没办法确定
变式2：求证：经过抛物线的焦点的弦与抛物线相交于两点A、B，以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
变式3：经过抛物线的焦点的弦与抛物线相交于两点A、B，以线段AB为直径的圆与抛物线的准线有何关系？
上述变式题的练习既巩固抛物线定义，又复习圆与直线的知识，也复习了梯形的中位线定理等等，从而达到了变式练习的目的.
总之，一道数学题通过多种变化，能够让学生感知更多的知识和理论，通过类比、联想、推广等方式生发出更多的新颖题目，让学生从不同的角度思考问题，运用不同的方法解决问题，强化他们的应变能力，锻炼学生的发散性思维，真正培养他们数学思维和素养，培养创新型人才.