自动控制理论第四版课后习题详细解答答案夏德钤翁贻方版)

第二章

2-1 试求图2-T-1所示RC网络的传递函数。

1CsR1，zR，则传递函数为： (a)z1221RCs11R1CsR1(b) 设流过C1、C2的电流分别为I1、I2，根据电路图列出电压方程： 并且有

联立三式可消去I1(s)与I2(s)，则传递函数为：

2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以ui为输入，uo为输出的传递函数。

(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：对上式进行拉氏变换得到 故传递函数为

(b)由运放虚短、虚断特性有：C联立两式消去uc得到 对该式进行拉氏变换得 故此传递函数为 (c)Cducucu0uuuc0，且ic，联立两式可消去uc得到 dtR1/2R1/2RR12uiduduCiC0，ucuiu0， Rdtdtducuiucucuu0，c00， dtR2R2R2R1对该式进行拉氏变换得到 故此传递函数为

2-3 试求图2-T-3中以电枢电压ua为输入量，以电动机的转角为输出量的微

分方程式和传递函数。 解：设激磁磁通Kfif恒定

2-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r表示）即为该随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差ue即是无惯性放大器（放大系数为Ka）的输入，放大器向直流电动机M供电，电枢电压为u，电流为I。电动机的角位移为。 解：

CsRsKACm

60iLaJs3iLafRaJs2iRafCeCmsKACm22-5 图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流id与ud间的关系

d0.u02631R10，静态工作点u02.39V，为id10e。假设电路中的6i02.19103A。试求在工作点(u0,i0)附近idf(ud)的线性化方程。

解：id2.191030.084ud0.2

2-6 试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力—电压的相似量画出相似电路。

解：分别对物块m1、m2受力分析可列出如下方程： 代入v1dy1dy、v22得 dtdt2-7 图2-T-7为插了一个温度计的槽。槽内温度为i，温度计显示温度为。试求传递函数

(s)（考虑温度计有贮存热的热容C和热流的热阻R）。 i(s)解：根据能量守恒定律可列出如下方程：

对上式进行拉氏变换得到 则传递函数为

2-8 试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数

R(s) + H1 G1 G1 + C(s)。 R(s)G2 + _ + G3 _ G2 H1 H2 + + + a) C(s) C(sG3 GH3 3 _ C(s+ b) H1 G+H11 图+ C(sG1 G4 C(sG3 + + C(s) R(s化简过程如下+ 解：(a) + _

传递函数为 (b) 化简过程如下

H1

R(sR(s_ G2 G1 G1+G2 G1+G2 R(sG2 G2 H2 1/H3+H2/G_ R(s+ R(s+ G1 _ _ R(s) G4 + 3 2G3 GG4+G+ C(sC(s) C(s传递函数为 H3 C(s)2-9 试简化图2-T-9所示系统的框图，并求系统的传递函数。 R(s)

R(s+ 解：化简过程如下 _

R(s+ _ C(s+ _ 0.0.+ + _ 0._ + + 0.KK图C(s0.R(sC(s0.

R(s系统的传递函数为 C(s2-10 绘出图2-T-10所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数

C(s)。 R(s)

H2 C(sR(s+ + 系统的传递函数为 G1 + G2 G3 + _ + C(s)C(s)2-11 试绘出图2-T-11所示系统的信号流程图，并求传递函数1和2（设H1 R1(s)R2(s)R2(s)0）。 G4 图C1(s

R1(s+ _ G2 解：系统信号流程图如图所示。G G3 1 + 题2-11 系统信号流程图 H1 H2 + + 2-12 求图R2-T-12。 2(s+ 所示系统的传递函数R(sG)5 G4 _ C(s)G6 C2(s解：(a) 系统只有一个回环：L1cdh，

图2-T-11

在节点R(s)和C(s)之间有四条前向通道，分别为：P1abcdef，P2abcdi，

P4agdi，相应的，有：12341 3agdef，P则

(b) 系统共有三个回环，因此，L1111， R1C1sR2C2sR1C2s两个互不接触的回环只有一组，因此，L2111 2R1C1sR2C2sR1R2C1C2s11111，并且sC1R1sC2R1C1C2s2在节点R(s)和C(s)之间仅有一条前向通道：P11有11，则

2-13 确定图2-T-13中系统的输出C(s)。

D1(sD2(sC1(s)_ G1G2+ R(s) R(+ s)作用时，解：采用叠加原理，当仅有， + C(s) + 1GHGGH+ R(s)G1 22G2 121_ _ 当仅有D1(s)作用时，当仅有D2(s)作用时，C2(s)G2， D1(s)1G2H2G1G2H1H2 H1 + C3(s)G2+ ， 3(sD2(s)1G2H2G1DGH21C(s)G1G2H1当仅有D3(s)作用时，4

D3(s)1G2H2G1G2H1图

根据叠加原理得出

第三章

3-1 设系统的传递函数为

求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。 解：当输入为单位斜坡响应时，有

r(t)t，R(s)1 2s所以有

分三种情况讨论 （1）当1时， （2）当01时， （3）当1时， 设系统为单位反馈系统,有 系统对单位斜坡输入的稳态误差为

3-2 试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为

（1）G(s)50K （2）G(s)

(10.1s)(12s)s(10.1s)(10.5s)K(12s)(14s)KG(s) （4）

s2(s22s10)s(s24s200)s0s0（3）G(s)解：（1）KplimG(s)50,KvlimsG(s)0,Kalims2G(s)0；

s0（2）KplimG(s),KvlimsG(s)K,Kalims2G(s)0；

s0s0s0（3）KplimG(s),KvlimsG(s),Kalims2G(s)s0s0s0K； 10（4）KplimG(s),KvlimsG(s)s0s0K,Kalims2G(s)0

s02003-3 设单位反馈系统的开环传递函数为

若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。

（1）r(t)R0，（2）r(t)R0R1t，（3）r(t)R0R1tR2t2 解：首先求系统的给定误差传递函数 误差系数可求得如下

s(t)r （1）r(t)R0，此时有rs(t)R0,rs(t)0，于是稳态误差级数为

esrtC0rs(t)0，t0

12s(t)R1,r （2）r(t)R0R1t，此时有rs(t)R0R1t,r于是稳态误差s(t)0，

级数为

s(t)0.1R1，t0 esrtC0rs(t)C1rs(t)R1R2t， （3）r(t)R0R1tR2t2，此时有rs(t)R0R1tR2t2,rrs(t)R2，于是稳态误差级数为

1212s(t)esrtC0rs(t)C1rC2r(t)0.1(R1R2t)，t0 s2!3-4 设单位反馈系统的开环传递函数为

若输入为r(t)sin5t，求此系统的给定稳态误差级数。 解：首先求系统的给定误差传递函数 误差系数可求得如下 以及

则稳态误差级数为

3-6 系统的框图如图3-T-1a所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入端加入一比例微分环节（参见图3-T-1b），试证明当适当选取a值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消除。

R(sR(sC(s) _ + C(s+ 2解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：，加入比例—微分环节后 _ a) esrn可见取a2n，可使esr0

b) 图3-T-1

3-7 单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为

从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。经测量知，

Mp0.096，tp0.2s。试确定传递函数中的参量及n。

解：由图可以判断出01，因此有 代入Mp0.096，tp0.2可求出

0.598 19.588nR(s+ _ G(s图3-T-3

C(s3-8 反馈控制系统的框图如图3-T-3所示，要求 （1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。 （2）整个系统的特征方程为s34s26s40 求三阶开环传递函数G(s)，使得同时满足上述要求。 解：设开环传递函数为

s3k1s2k2sk31根据条件（1）esrlim30可知：k30；

s01G(s)sk1s2k2sk3K根据条件（2）D(s)s34s26s40可知：k14，k26，K4。 所以有

3-9 一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为G(s)，如要求 （1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于2.0。 （2）三阶系统的一对主导极点为s1,s21j1。 求同时满足上述条件的系统开环传递函数G(s)。 解：按照条件（2）可写出系统的特征方程

将上式与1G(s)0比较，可得系统的开环传递函数 根据条件（1），可得

解得a1，于是由系统的开环传递函数为 3-10 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为

试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。 （1）K4.5,1s （2）K1,1s （3）K0.16,1s 解：系统单位阶跃响应的象函数为

（1）将K4.5，1s代入式中可求出n2.12rad/s，0.24，为欠阻尼系

统，因此得出

Mp46%，ts7.86s(2%)，5.90s(5%)

（2）将K1，1s代入式中可求出n1rad/s，0.5，，为欠阻尼系统，因此得出

Mp16.3%，ts8s(2%)s，6s(5%)

（3）将K0.16，1s代入式中可求出n0.4rad/s，1.25，过阻尼，无最大超调量。因此只有ts15s。

3-11 系统的框图如图3-T-4所示，试求当a=0时,系统的之值。如要求，是确定a的值。

（1）当a=0时， 则系统传传递函数为G(s)2n2，所以有0.354。

8，其中n822，

s22s8 （2）n不变时，系统传函数为G(s)8，要求0.7，则有

s2(8a2)s82n2(4a1)，所以可求得求得a0.25。

3-12 已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析z=1的零点对系统单位脉冲响应和单位阶跃响应的影响。 1. 单位脉冲响应 (a) 无零点时 （b）有零点z1时

比较上述两种情况，可见有零点z1时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，

12n而且产生相移，相移角为arctg。

1n2．单位阶跃响应

(a) 无零点时 （b）有零点z1时

加了z1的零点之后，超调量Mp和超调时间tp都小于没有零点的情况。 3-13 单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统处于零初始状态。如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何必然存在超调现象？

单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统中存在比例-积分环节

K11s1，当误差信号et0时，由于积分作用，该环节s的输出保持不变，故系统输出继续增长，知道出现et0时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超调现象。

3-14 上述系统，如在rt为常量时，加于系统的扰动nt为阶跃函数形式，是从环节及物理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动nt为斜坡函数形式，为何扰动稳态误差是与时间无关的常量？

在rt为常量的情况下，考虑扰动nt对系统的影响，可将框图重画如下

图A-3-2 题3-14系统框图等效变换

根据终值定理，可求得nt为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0，nt为单位斜坡函数时，系统的稳态误差为

1。 K1从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。

3-15 已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。

s4s3（1）劳斯表有 s2s1s012633834030 则系统系统稳定。 0112240 劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳1282s4s3（2）劳斯表有 s2s1s0斯判据，系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。

s5s4s3（3）劳斯表有 2ss1s01316191066 劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳

10101210斯判据，系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。

s6s5s413234345984（4）劳斯表有 s3812 系统处于稳定的临界状态，由辅助方程

s2s1s0As2s46s24可求得系统的两对共轭虚数极点s1,2j;s3,4j2。

3-16 根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K值的范围。 （1）K>0时,系统稳定。 （2）K>0时，系统不稳定。 （3）03-17 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)K(s1)请在以K为

s(s1)(2s1)横坐标，为纵坐标的平面上，确定系统为稳定的区域。 系统的特征方程为 D(s)2s3(2)s2(K1)sK0

s3s2s122(2)(k1)2k2kk1k列写劳斯表 ，得出系统稳定应满足的条件

s0(2)(K1)2K0

2由此得到和应满足的不等式和条件

2 6

3 4

4 3.3

5 3

9 2.5

15 2.28

30 2.13

100 2.04

根据列表数据可绘制K为横坐标、为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中的阴影部分。

图A-3-3 闭环系统稳定的参数区域

3-18 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)系统的临界增益Kc之值及无阻尼振荡频率值。

根据单位反馈系统的开环传递函数得到特征方程 列写劳斯表 根据劳斯判据可得

系统稳定的K值范围为

当K11.22106、K21.7535108时，系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界增益Kc1.22106以及Kc1.7535108。

K(s5)(s40) 试求3s(s200)(s1000)根据劳斯表列写Kc1.22106时的辅助方程

解得系统的一对共轭虚数极点为s1,2j16，系统的无阻尼振荡频率即为

16rad/s。

Kc1.7535108时的辅助方程

解得系统的一对共轭虚数极点为s3,4j338，系统的无阻尼振荡频率为

338rad/s。

第四章

4-2设已知单位反馈系统的开环传递函数如下，要求绘出当开环增益K1变化时系统的根轨迹图，并加简要说明。 （1）GsK1

ss1s30与，3上有根轨迹， 系统开环极点为0，—1，—3，无开环零点。实轴1，渐近线相角a60,180，渐近线与实轴交点a1.33，由

dK10可得出分离dS（0.45,j0）点为，与虚轴交点j3K112。常规根轨迹如图A-4-2所示。

图A-4-2 题4-2系统（1）常规根轨迹

（2）GsK1

ss4s24s200上有根轨迹，a45,135，a2，分离 方法步骤同上，实轴4，点2,j0与2j2.5，与虚轴交点j10K1260。常规根轨迹如图A-4-3所示。

图A-4-3 题4-2系统（2）常规根轨迹

4-3设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)K1（1)试绘制系统根轨迹的大s2(s1)致图形，并对系统的稳定性进行分析。（2）若增加一个零点z1，试问根轨迹

图有何变化，对系统稳定性有何影响？ （1）GsK1

s2s2dK10可得出分离点为dS2上有根轨迹，a60,a0.67，由实轴，0,j0，与虚轴交点为j0K10常规根轨迹如图

A-4-4（a）所示。从根轨迹图

可见，当K10便有二个闭环极点位于右半s平面。所以无论K取何值，系统都不稳定。

图A-4-4 题4-3系统常规根轨迹

（2）GsK1s1 s2s21上有根轨迹，a90,a0.5，分离点为0,j0；常规根轨迹实轴2，如图A-4-4（b）所示。从根轨迹图看，加了零点z1后，无论K取何值，系统都是稳定的。

4-4 设系统的开环传递函数为G(s)H(s)K1(s2)试绘制下列条件下系统的2s(s2sa)常规根轨迹（1）a=1 (2) a=1.185 (3) a=3

0上有根轨迹，a90，a0，分离点为0.38，0， （1）a=1时，实轴2，常规根轨迹如图图A-4-5（1）

图A-4-5（1）

0上有根轨迹，a90，a0，根轨迹与虚轴的（2）a=1.185时，实轴2，j，常规根轨迹如图图A-4-5（2） 交点为0， 图A-4-5（2）

0上有根轨迹，a90，a0，根轨迹与虚轴的交点（3）a=3时，实轴2，j，常规根轨迹如图图A-4-5（3） 为0， 图A-4-5（3） 4-5 求开环传递函数为G(s)H(s)a=10（2）a=9（3）a=8 (4)a=3

1上有根轨迹，a90,a4.5，分离点为0，j0，与虚轴交（1）实轴10，K1(s1)的系统在下列条件下的根轨迹（1）2s(sa)点为j0K10。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（1） 图A-4-6（1）

1上有根轨迹，a90,a4，分离点为0，j0，与虚轴交点（2）实轴9，为j0K10。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（2） 图A-4-6（2）

1上有根轨迹，a90,a3.5，分离点为0，j0，与虚轴交（3）实轴8，点为j0K10。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（3） 图A-4-6（3）

1上有根轨迹，a90,a1，分离点为0，j0，与虚轴交点（4）实轴3，为j0K10。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（4） 图A-4-6（4）

4-7 设系统的框图如图4-T-2所示，试绘制以a为变量的根轨迹，并要求：（1）

求无局部反

馈时系统单位斜坡响应的稳态误差，阻尼比及调整时间。（2）讨论a=2时局部

反馈对系性

能的影响。(3)确定临界阻尼时的a值。

系统特征方程为

以为可变参数，可将特征方程改写为 从而得到等效开环传递函数

0上有根轨迹 根据绘制常规根轨迹的方法，可求得实轴，分离点为1,j0，出射角为P150。参数根轨迹如图A-4-7a180,a1，所示。

图A-4-7 题4-7系统参数根轨迹

（1） 无局部反馈时0，单位速度输入信号作用下的稳态误差为esr1；阻

尼比为0.5；调节时间为ts6s5% （2） 0.2时，esr1.2，0.6，ts5s(5%)

比较可见，当加入局部反馈之后，阻尼比变大，调节时间减小，但稳态误差加大。

（3） 当1时，系统处于临界阻尼状态，此时系统有二重闭环极点s1,21。 4-8 根据下列正反馈回路的开环传递函数，绘制其根轨迹的大致图形。

0，21，有根轨迹，a90,a1.5，分离点为1.5，（1）实轴，与虚轴交点为j0K13。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（1）

2，1有根轨迹，a0，0，（2）实轴0，120,a2，分离点为1.57，与虚轴交点为j0K13。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（2）

2，14，3有根轨迹，a0，（3）实轴0，虚轴交点为120,a2，

0，j0.91K15.375。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（3）

4-9 绘出图4-T-3所示滞后系统的主根轨迹，并确定能使系统稳定的K值范围。

主根轨迹如图A-4-9所示。系统稳定的K值范围是0K14.38。

图A-4-9 题4-9系统主根轨迹

Kes4-10 若已知一个滞后系统的开环传递函数为GsHs，试绘制此系统的

s主根轨迹。

Kes 由GsHs知

sK10时系统的根轨迹从开环极点p10和出发，实轴，0上有根轨迹，

1主根轨迹分离点,j0；与虚轴交点j，临界K值。主根轨迹如图

22A-4-10所示。

图A-4-10

4-11上题中的开环传递函数可用下列近似公式表示(1) GsHsK1s (2)

sK1sK2 (3) GsHs试绘制以上三种情况的根迹，并和GsHsss1s1s2题4-10的根轨迹进行比较，讨论采用近似式的可能性。 （1）GsHsK1s的根轨迹如图A-4-11（1）所示。 sK1s图A-4-11（1） GsHs根轨迹 sK1s2（2）GsHs

s1s22122122 分离点；与虚轴交点j,j0；会合点,j0；

临界稳定K值为。根轨迹如图A-4-11（2）所示。

图A-4-11（2） GsHsK1(/2)s根轨迹 s1(/2)s2（3）GsHsK

ss1分离点1，根轨迹如图A-4-11（3）所示。 2,j0图A-4-11（3） GsHsK根轨迹

ss1K。若较大，取上

ss1讨论：当较小时，且K在某一范围内时，可取近似式

K1s2述近似式误差就大，此时应取近似式。9

s1s24-12 已知控制系统的框图如图4-T-4所示，图中G1(s)G2(s)K1，

(s5)(s5)s2。试绘制闭环系统特征方程的根轨迹，并加简要说明。 s系统的根轨迹如图A-4-12所示。

图A-4-12

4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)K1(sa),确定a的值，使根轨迹2s(sa)图分别具有0,1,2个分离点，画出这三种情况根轨迹图。 当0a111时，有两个分离点，当a时，有一个分离点，当a时，没有分999离点。系统的根轨迹族如图A-4-13所示。

图A-4-13 第五章

5-1 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制其开环频率特性的极坐标图

(1)Gs1 ss1解：幅频特性： A()112

相频特性： ()900arctg 列表取点并计算。

0.5 1.79

1.0 0.707

1.5 0.37

2.0 0.224

5.0 0.039

10.0 0.0095

-116.6 -135 -146.3 -153.4 -168.7 -174.2

系统的极坐标图如下：

(2) Gs1

1s12s解：幅频特性： A()112142

相频特性： ()arctgarctg2 列表取点并计算。

0 1

0.2 0.91 -15.6

0.5 0.63

0.8 0.414

1.0 0.317 -108.4

2.0 0.172 -139.4

5.0 0.0195 -162.96

0 -71.6 -96.7

系统的极坐标图如下：

(3) Gs1

ss12s1解：幅频特性： A()112142

相频特性： ()900arctgarctg2 列表取点并计算。

0.2 4.55

0.3 2.74

0.5 1.27

1 0.317

2 0.054

5 0.0039

-105.6 -137.6 -161 -198.4 -229.4 -253

系统的极坐标图如下：

(4) Gs1 2s1s12s1解：幅频特性：A()212142

相频特性：()1800arctgarctg2

列表取点并计算。

0.2

0.25

0.3 7.86

0.5 2.52 -251.6

0.6 0.53 -261.6

0.8 0.65 -276.7

1 0.317 -288.4

22.75 13.8 -195.

6

-220.6-227.6





系统的极坐标图如下：

5-2 试绘制上题中各系统的开环对数频率特性（伯德图）。

(1)Gs1 ss1解：系统为Ⅰ型，伯德图起始斜率为－20dB/dec，在1s1处与L()=20lgK=0

相交。

1

环节的交接频率11s1，斜率下降20dB/dec，变为-40dB/dec。 s1系统的伯德图如图所示:

(2) Gs1

1s12s解：伯德图起始为0dB线，

11的交接频率1s1，斜率下降20dB/dec，变为－20dB/dec。 12s21的交接频率21s1，斜率下降20dB/dec，变为－40dB/dec。 1s系统的伯德图如图所示。 （3）Gs1

ss12s1解：系统为Ⅰ型，伯德图起始斜率为－20dB/dec，其延长线在=1处与

L()=20lgK=0相交。

11的交接频率1s1，斜率下降20dB/dec，变为－40dB/dec。 12s21的交接频率21s1，斜率下降20dB/dec，变为－60dB/dec。 1s系统的伯德图如图所示。 (4) Gs1 2s1s12s解：系统为错误！未找到引用源。型，伯德图起始斜率为－40dB/dec，其延长线在=1处与L()=20lgK=0相交；

11的交接频率1s1，斜率下降20dB/dec，变为－60dB/dec。 12s21的交接频率21s1，斜率下降20dB/dec，变为－80dB/dec。 1s系统的伯德图如图所示。

5-3设单位反馈系统的开环传递函数为

试绘制系统的内奎斯特图和伯德图，并求相角裕度和增益裕度。 解：幅频特性： A()101(0.1)21(0.5)2

相频特性 ()900arctg0.1arctg0.5

0.5 17.3 -106.8

9

1.0 8.9

1.5 5.3

2.0 3.5 -146.3

3.0 1.77

5.0 0.67 -184.7

10.0 0.24 -213.7

-122.3-135.4

-163

6



错误！未找到引用源。系统的极坐标图如图所示。 令1800，解得g4.47s1。

Kg11.2，增益裕度： GM=20lgKg1.58dB。

A（g）错误！未找到引用源。伯德图起始斜率为-20dB/dec,经过点

1s1,L()20lgK20。

1s1处斜率下降为-40 dB/dec，10s1处斜率下将为-60dB/dec。

系统的伯德图如下图所示。

令A()=1得剪切频率 c4.08s1,相角裕度PM=3.94deg。

5-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为

用MATLAB绘制系统的伯德图，确定L()0的频率c，和对应的相角(c)。 解：命令如下： >> s=tf('s');

>> G=1/((s*(1+s)^2));

>> margin(G2);

程序执行结果如上，可从图中直接读出所求值。

5-6 根据下列开环频率特性，用MATLAB绘制系统的伯德图，并用奈氏稳定判据判断系统的稳定性。 （1）G(j)H(j)解：命令如下： >> s=tf('s');

>> G=10/(s*(0.1*s+1)*(0.2*s+1)); >> margin(G);

如图，相角裕度和增益裕度都为正，系统稳定。 （2）G(j)H(j)解：命令如下： >> s=tf('s');

>> G=2/((s^2)*(0.1*s+1)*(10*s+1)); >> margin(G);

如图，增益裕度无穷大，相角裕度-83，系统不稳定。

5-7 已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如图所示，试写出系统的开环传递函数，并汇出对应的对数相频曲线的大致图形。 （a） 解：低频段由20lgK10得，K10 =2s1处，斜率下降20dB/dec,对应惯性环节

1。 0.5s12

(j)2(0.1j1)(10j1)10

(j)(0.1j1)(0.2j1)由上可得，传递函数Gs10。 0.5s1相频特性()arctg0.5。

汇出系统的相频特性曲线如下图所示。

（b） 解：低频段斜率为-20dB/dec,对应积分环节。

1s=2s1处，斜率下降20dB/dec,对应惯性环节

K1。 0.5s1在剪切频率c2.8s1处，

c10.5c221，解得K4.8

传递函数为：G(s)4.8

s(0.5s1)（c） 低频段斜率为-40dB/dec,为两个积分环节的叠加

1； s210.5s1处，斜率上升20dB/dec,对应一阶微分环节2s1； 22s1处，斜率下降20dB/dec,对应一阶惯性环节

1 0.5s1传递函数形式为：G(s)K(2s1) 2s(0.5s1)图中所示Bode图的低频段可用传递函数为K/s2来描述，则其幅频特性为K/2。取对数，得L1()20lgK20lg2。

同理，Bode图中斜率为-20dB/dec的中频段可用K1/s来描述，则其对数幅频特性为L2()20lgK120lg。由图有，L2(c)0dB,则有K1c。 再看图，由L1(1)L2(1)可解得K1c0.5 综上，系统开环传递函数为G(s)（参考李友善做法）

系统相频特性：()180arctg2arctg0.5 曲线如下：

0.5(2s1) 2s(0.5s1)5-8 设系统开环频率特性的极坐标图如图5-T-2所示，试判断闭环系统的稳定性。

(a) 解：系统开环稳定，奈氏图包围（-1，0j）点一次，P≠0，所以闭环系统不稳定。

(b) 解：正负穿越各一次，P=2（N+-N-）=0，闭环系统稳定。 (c) 闭环系统稳定。 (d) 闭环系统稳定。

2es5-9根据系统的开环传递函数G(s)H(s）绘制系统的伯德图，s(1s)(10.5s)并确定能使系统稳定之最大值范围。

解：0时，经误差修正后的伯德图如图所示。从伯德图可见系统的剪切频率

c1.15s1，在剪切频率处系统的相角为

由上式，滞后环节在剪切频频处最大率可有11.1的相角滞后，即 解得0.1686s。因此使系统稳定的最大值范围为00.1686s。

5-10 已知系统的开环传递函数为

试用伯德图方法确定系统稳定的临界增益K值。 解：由GsHsK1知两个转折频率1rad/s,21rad/s。令

s1s13s3K1，可绘制系统伯德图如图所示。

确定()180所对应的角频率g。由相频特性表达式 可得 arctg1.33g10.332g90

解出 g31.732rad/s

在伯德图中找到L(g)2.5dB，也即对数幅频特性提高2.5dB，系统将处于稳定

的临界状态。因此

20lgK2.5dBK4为闭环系统稳定的临界增益值。 35-11 根据图5-T-3中G(j)的伯德图求传递函数G(s)。 解：由L(0.1)0dB知K1；

由L(1)3dB知1是惯性环节由

1的转折频率； s1从1增大到10，L()下降约23dB，可确定斜率为20dB/dec，知系统无

其他惯性环节、或微分环节和振荡环节。

由(0.1)0和(1)83知系统有一串联纯滞后环节es。系统的开环传递函

es数为 GsHs

s1由(1)arctg118083解得0.66s。可确定系统的传递函数为

e0.66s GsHss1第六章

6-1 试求图6-T-1所示超前网络和滞后网络的传递函数和伯德图。 解：（a），超前网络的传递函数为GsRCs，伯德图如图所示。 RCs1题6-1超前网络伯德图

（b），滞后网络的传递函数为Gs1，伯德图如图所示。

RCs1题6-1滞后网络伯德图

6-2 试回答下列问题，着重从物理概念说明：

（1）有源校正装置与无源校正装置有何不同特点，在实现校正规律时他们的作用是否相同？

（2）如果错误！未找到引用源。型系统经校正后希望成为错误！未找到引用源。型系统，应采用哪种校正规律才能满足要求，并保证系统稳定? （3）串联超前校正为什么可以改善系统的暂态性能？

（4）在什么情况下加串联滞后校正可以提高系统的稳定程度？ （5）若从抑制扰动对系统影响的角度考虑，最好采用哪种校正形式？ 解： （1）无源校正装置的特点是简单，但要达到理想的校正效果，必须满足其输入阻抗为零，输出阻抗为无限大的条件，否则很难实现预期效果。且无源校正装置都有衰减性。而有源装置多是由直流运算放大器和无源网络构成，能够达到较理想的校正效果。

（2）采用比例-积分校正可使系统由I型转变为II型。

（3）利用串联超前校正装置在剪切频率附近提供的相位超前角，可增大系统的相角裕度 ，从而改善系统的暂态性能。

（4）当减小，相频特性()朝0方向变化且斜率较大时，加串联滞后校正可以提高系统的稳定程度。

（5）可根据扰动的性质，采用带有积分作用的串联校正，或采用复合校正。

6-3 某单位反馈系统的开环传递函数为 （1）计算校正前系统的剪切频率和相角裕度。 （2）串联传递函数为Gc(s)切频率和相角裕度。 （3）串联传递函数为Gc(s)频率和相角裕度。

（4）讨论串联超前校正、串联滞后校正的不同作用。

10s1的滞后校正装置，求校正后系统的剪切

100s10.4s1的超前校正装置，求校正后系统的剪

0.125s1解： (1) 用MATLAB求得校正前59.7(c3.88rad/s)

（2）串联超前校正后70.1(c5.rad/s) （3）串联滞后校正后124(c0.0296rad/s)

（4）串联超前校正装置使系统的相角裕度增大，从而降低了系统响应的超调量。与此同时，增加了系统的带宽，使系统的响应速度加快。

在本题中，串联滞后校正的作用是利用其低通滤波器特性，通过减小系统的剪切频率，提高系统的相角稳定裕度，以改善系统的稳定性和某些暂态性能。

6-4 设控制系统的开环传递函数为 （1）绘制系统的伯德图，并求相角裕度。 （2）采用传递函数为Gc(s)0.33s1的串联超前校正装置。试求校正后系

0.033s1统的相角裕度，并讨论校正后系统的性能有何改进。 解：（1）校正前3.94(c4.47rad/s), （2）加串联超前校正装置Gc(s)0.33s139.8(c16.2rad/s)后，

0.033s1

经超前校正，提高了系统的稳定裕度。

题6-4系统校正前、后伯德图

6-5 单位反馈系统的开环传递函数为

设计一串联滞后网络，使系统的相角裕度40，并保持原有的开环增益。 解：原系统的相角裕度为20。

计

算

未

校

正

系

统

中

对

应

相

角

裕

度

为

218090arctg2401555时的频率c2。

10.35s解得 c2。

当0.35s1时，令未校正系统的开环增益为20lg，故有

20lg20，

0.351.37于是选， 10 选定 211c40.088

则 10.0088。

于是，滞后校正网的开环传递函数为Gc(s)（校

验

校

正

后

系

统

的

1s0.08811.4s1。 )10s0.0088114s1相角裕度为

42

6-7 单位反馈系统如图6-T-2所示。系统的输入和输出均为转角，单位是（）。对系统进行超前校正，使满足相角裕度大于45，在单位斜坡输

1入（单位是（）s）下的稳态误差为，剪切频率小于7.5s1。

151解：GosKs1，超前校正装置Gcs，校正后系统的开环增益为ss1s5.7K3.0221，62(c3.02s1),满足设计要求。 s 6-8 单位反馈系统的开环传递函数为 设设计滞后校正装置以满足下列要求： （1）系统开环增益K8； （2）相角裕度40。

解：当K8时，画出未校正系统的伯德图。由于伯德曲线自1rad/s开始以-40dB/dec的斜率与零分贝线交与c1，故存在下述关系： 故 c18rad/s2.83s1。 于是未校正系统的相角裕度为 说明未校正系统是不稳定的。

计算未校正系统相频特性中对应于相角裕度为2401555时的频率c2。 由于

得0.55s1。

c2当0.55s1时，令未校正系统的开环增益为20lg，从而求出串联滞后校正

c2装置的系数。有： 于是选： 选定： 则：

于是滞后网络的传递函数为

6-9 设控制系统如图6-T-3所示，系统采用反馈校正。试用MATLAB比较校正前后系统的相角裕度和带宽。

解：未采用反馈校正时，17.9，带宽为4.826rad/s。采用反馈校正后，调整

KA2.5，使K10，此时27。带宽为7.426rad/s。可见，采用反馈校正，

可提高系统的稳定裕度，并可使带宽增大。系统反馈校正前、后伯德图如图所示。