《材料力学》第3章-扭转-习题解

[习题3-1] 一传动轴作匀速转动，转速n200r/min，轴上装有五个轮子，主动轮II输入的功率为60kW，从动轮，I，III，IV，V依次输出18kW，12kW，22kW和8kW。试作轴的扭图。 解：〔1〕计算各轮的力偶矩〔外力偶矩〕 Te9.55Nk n 外力偶矩计算(kW换算成kN.m) 题目编号 习题3-1 轮子编号 I II III IV V

(2) 作扭矩图

轮子作用 从动轮 主动轮 从动轮 从动轮 从动轮 功率(kW) 18 60 12 22 8 转速r/min 200 200 200 200 200 Te〔kN.m〕 0.859 2.865 0.573 1.051 0.382

T图(kN.m)

[习题3-2] 一钻探机的功率为10kW，转速n180r/min。钻杆钻入土层的深度l40m。如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m，并作钻杆的扭矩图。 解：〔1〕求分布力偶的集度m

Me9.549Nk109.5490.5305(kNm) n180设钻杆轴为x轴，那么：

Mx0

mlMe

mMe0.53050.0133(kN/m) l401

〔2〕作钻杆的扭矩图 T(x)mxMex0.0133x。x[0,40] l T(0)0； T(40)Me0.5305(kNm)

扭矩图如下图。

[习题3-3] 圆轴的直径d50mm，转速为120r/min。假设该轴横截面上的最大切应力等于60MPa，试问所传递的功率为多大？ 解：〔1〕计算圆形截面的抗扭截面模量：

Wp11d33.1415950324544(mm3) 1616 〔2〕计算扭矩

maxT60N/mm2 WpT60N/mm224544mm314720Nmm1.473(kNm)

〔3〕计算所传递的功率 TMe9.549Nk1.473(kNm) n Nk1.473120/9.54918.5(kW)

[习题3-4] 空心钢轴的外径D100mm，内径d50mm。间距为l2.7m的两横截面的

o相对扭转角1.8，材料的切变模量G80GPa。试求：

〔1〕轴内的最大切应力；

〔2〕当轴以n80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率。 解；〔1〕计算轴内的最大切应力

11D4(14)3.141591004(10.54)9203877(mm4)。 323211WpD3(14)3.141591003(10.54)184078(mm3)

1616式中，d/D。 IpTl， GIpTGIpl1.83.14159/18080000N/mm29203877mm42700mm

8563014.45Nmm

2

8.563(kNm)

maxT8563014.45Nmm46.518MPa Wp184078mm3〔2〕当轴以n80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率 TMe9.549NkN9.549k8.563(kNm) n80Nk8.56380/9.54971.74(kW)

[习题3-5] 实心圆轴的直径d100mm，长l1m，其两端所受外力偶矩Me14kNm，材料的切变模量G80GPa。试求：

〔1〕最大切应力及两端面间的相对转角；

〔2〕图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向； 〔3〕C点处的切应变。 解：〔1〕计算最大切应力及两端面间的相对转角 max式

MTe。 WpWp中

，

Wp11d33.141591003196349(mm3)。故： 1616maxMe14106Nmm71.302MPa Wp196349mm3Tl GIp11d43.1415910049817469(mm4)。故： 3232式中，IpTl14000Nm1mo 0.0178254(rad)1.0292124GIp8010N/m981746910m〔2〕求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向 ABmax71.302MPa 由横截面上切应力分布规律可知：

CB0.571.30235.66MPa

A、B、C三点的切应力方向如下图。

〔3〕计算C点处的切应变

12 3

CCG35.66MPa4.45751040.446103 38010MPa[习题3-6] 图示一等直圆杆，d40mm，a400mm，G80GPa，DB1o。试求： 〔1〕最大切应力；

〔2〕截面A相对于截面C的扭转角。 解：〔1〕计算最大切应力

从AD轴的外力偶分布情况可知：

TABTCDMe，TBC0。

DBTiliTDClDCTCBlCBMea0aMea GIpGIpGIpGIpGIpGIpGIpaMe

11d43.14159404251327(mm4)。故： 3232 式中，Ip MeGIpa80000N/mm2251327mm43.14159877296Nmm

400mm180 maxMe Wp11d33.1415940312566(mm3)。故： 1616式中，Wp maxMe877296Nmm69.815MPa 3Wp12566mmTiliTABlABTBClBCMe2a0a2Mea2DB2o GIpGIpGIpGIpGIpGIp〔2〕计算截面A相对于截面C的扭转角

AC[习题3-7] 某小型水电站的水轮机容量为50kW，转速为300r/min，钢轴直径为75mm，假设在正常运转下且只考虑扭矩作用，其许用切应力[]20MPa。试校核轴的强度。 解：〔1〕计算最大工作切应力 maxMeT WpWpNk509.5491.592(kNm)； n3004

式中，Me9.549

Wp故：max11d33.1415975312566(mm3)。 1616Me1592000Nmm19.219MPa Wp82835mm3〔2〕强度校核

因为max19.219MPa，[]20MPa，即max[]，所以轴的强度足够，不会发生破坏。

[习题3-8] 钻探机钻杆〔参看题3-2图〕的外径D60mm，内径d50mm，功率P7.355kW，转速n180r/min，钻杆入土深度l40m，钻杆材料的G80GMPa，许用切应力[]40MPa。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求： 〔1〕单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m；

〔2〕作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； 〔3〕两端截面的相对扭转角。 解：〔1〕求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m

Me9.549Nk7.3559.5490.390(kNm) n180设钻杆轴为x轴，那么：

Mx0

mlMe

mMe0.3900.00975(kN/m) l40〔2〕作钻杆的扭矩图，并进行强度校核

①作钻杆扭矩图

T(x)mx0.39x0.00975x。x[0,40] 40 T(0)0； T(40)Me0.390(kNm)

扭矩图如下图。 ②强度校核

maxMe Wp1150D3(14)3.14159603[1()4]21958(mm3) 161660式中，WpmaxMe390000Nmm17.761MPa 3Wp21958mm因为max17.761MPa，[]40MPa，即max[]，所以轴的强度足够，不

5

会发生破坏。

〔3〕计算两端截面的相对扭转角

400T(x)dx GIp1150D4(14)3.14159604[1()4]658752(mm4) 323260式中，Ip400|T(x)|dx1GIpGIp4000.00975x2400.00975xdx[]0621248010kN/m65875210m2 0.148(rad)8.50

[习题3-9] 图示绞车由两人同时操作，假设每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN，轴材料的许用切应力[]40MPa，试求： 〔1〕AB轴的直径；

〔2〕绞车所能吊起的最大重量。 解：〔1〕计算AB轴的直径

AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶 矩相等：

Me左Me右0.20.40.08(kNm) Me主动轮2Me右0.16(kNm) 扭矩图如下图。

由AB轴的强度条件得： maxMe右16Me右[] 3Wpd16Me右1680000Nmmd321.7mm 2[]3.1415940N/mm3〔2〕计算绞车所能吊起的最大重量

主动轮与从动轮之间的啮合力相等：

Me主动轮0.2Me从动轮0.35

Me从动轮0.350.160.28(kNm) 0.20 由卷扬机转筒的平衡条件得：

P0.25Me从动轮

P0.250.28

P0.28/0.251.12(kN)

6

[习题3-10] 直径d50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶Me6kNm，而在圆杆外表上的A点将移动到A1点，如下图。sAA13mm，圆杆材料的弹性模量

E210GPa，试求泊松比〔提示：各向同性材料的三个弹性常数E、G、间存在如下

关系：GE。

2(1)解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：

TMe6kNm。设O,O1两截面之间的相对对转

角为，那么s d2s， 2dTl2s GIPd式中，Ip11d43.14159504613592(mm4) 3232

Tld6106Nmm1000mm50mmG81487.372MPa81.4874GPa 42Ips2613592mm3mm由GE210E110.2 得：2G281.48742(1)[习题3-11] 直径d25mm的钢圆杆，受轴向拉60kN作用时，在标距为200mm的长度内伸长了0.113mm。当其承受一对扭转外力偶矩Me0.2kNm时，在标距为200mm的长度内相对扭转了0.732的角度。试求钢材的弹性常数G、G和。 解：〔1〕求弹性模量E loNl EANl60000N200mmE2147.8MPa216.448GPaAl0.253.14252mm20.113mm11d43.1415925438349(mm4) 3232 〔2〕求剪切弹性模量G

Ip由Tl得： GIPTl0.2106Nmm200mmG81684.136MPa81.7GPa 4Ip(0.7323.14/180)38349mm 7

〔3〕泊松比

由GE216.448E110.325 得：2G281.6842(1)[习题3-12] 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为d；空心轴的外径为D，内径为d0，且

d00.8。试求当D空心轴与实心轴的最大切应力均到达材料的许用切应力〔max[]〕，扭矩T相等时的重量比和刚度比。 解：〔1〕求空心圆轴的最大切应力，并求D。

maxT Wp1D3(14)，故： 16式中，Wpmax,空D316T27.1T[]

D3(10.84)D327.1T []〔1〕求实心圆轴的最大切应力

maxT Wp1d3 ，故： 1616T16T33[] dd 式中，Wpmax,实d316T []D27.1T[]()31.69375 d[]16TD1.192 d〔3〕求空心圆轴与实心圆轴的重量比

2W空0.25(D2d0)lD2D222()(10.8)0.36()0.361.1920.512 2W实dd0.25dl 8

〔4〕求空心圆轴与实心圆轴的刚度比

Ip空Ip实1D4(10.84)0.01845D4 321d40.03125d4 32GIp空GIp实0.01845D4D440.5904()0.59041.1921.192 4d0.03125d[习题3-13] 全长为l，两端面直径分别为d1,d2的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩Me ，如下图。试求杆两端面间的相对扭转角。

解：如下图，取微元体dx，那么其两端面之间的扭

转角为：

dMedx GIP1d4 32式中，Iprr1x

r2r1lrr2r1dd1dxr12x1 l2l2d2d1xd1 ld2rd4(d2d1xd1)4u4 ldud2d1dx ldx 故

ldu

d2d1：

MdxMee0GIGpldxMe0IpGl32dx32Me0d4Glldu32Mel1l0u4d2d1duG(d2d1)0u4 l 9

ldu32Mel32Mel32Ml1l1e []0433G(d2d1)0uG(d2d1)3u3G(d2d1)d2d1xd1l0321d13d232Meld12d1d2d232Mel32Mel1=333333 3G(d2d1)d2d13G(d1d2)d1d23Gd1d2l[习题3-14] 实心圆轴的转速n300r/min，传递的功率p330kW，轴材料的许用切应

o力[]60MPa，切变模量G80GPa。假设要求在2m长度的相对扭转角不超过1，试

求该轴的直径。 解：TlMel 1GIPGIp180Nk13309.54910.504(kNm)；Ipd4。故：

32n300式中，Me9.549Ip180Mel G180Mel1d4 32G32180Mel43218010.504106Nmm2000mmd4111.292mm 222G3.1480000N/mm取d111.3mm。

[习题3-15] 图示等直圆杆，外力偶MA2.99kNm，MB7.20kNm，

MC4.21kNm，许用切应力[]70MPa，许可单位长度扭转角[']1o/m，切变模

量G80GPa。试确定该轴的直径d。

解：〔1〕判断危险截面与危险点

作AC轴的扭矩图如下图。因最大扭矩出出在BC 段，所以危险截面出现在BC段，危险点出现在圆周上。

〔2〕计算危险点的应力〔最大工作切应力〕，并代入剪 切强度条件求d。 maxTBC16TBC[] 3Wpd116TBC3164.21106Nmm d1367.42mm

[]3.1470N/mm2

10

〔3〕计算最大单位长度扭转角(出现在BC段)，并代入扭转刚度条件求d。

〔4〕确定d值

dmax(d1,d2)74.4(mm)

[习题3-16] 阶梯形圆杆，AE段为空心，外径D140mm，内径d100mm；BC段为实心，直径d100mm。外力偶矩MA18kNm，MB32kNm，MC14kNm，许用切应力[]80MPa，许可单位长度扭转角[']1.2o/m，切变模G80GPa。试校核该轴的强度和刚度。 解：〔1〕AB段的强度与刚度校核 TABMA18kNm max,ABTAB Wp111004D3(14)3.141591403[1()]398533(mm3) 1616140Wp 式中，

max,AB'AB式中，Ip|TAB|18106Nmm45.166MPa[]80MPa 符合度条件。 Wp398533mm3l|TAB|180 GIp111004D4(14)3.141591404[1()]277319(mm4) 3232140 11

'ABl|TAB|18018000Nm180o'o0.462(/m)[]1.2/mGIp80109N/m22773191012m43.14 符合刚度条件。

（2） BC段的强度与刚度校核 TBCMC14kNm max,BCTBC Wp11d33.141591003196349(mm3) 1616 式中，Wpmax,AB'BC式中，Ip'BClTBC14106Nmm71.302MPa[]80MPa 符合度条件。 3Wp196349mmlTBC180 GIp11d43.1415910049817469(mm4) 3232TBC18014000Nm1801.02(o/m)[']1.2o/m92124GIp8010N/m981746910m3.14 符合刚度条件。

综合〔1〕、〔2〕可知，该轴符合强度与刚度条件。

[习题3-17] 习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力[]20MPa，切变模

G80GPa，许可单位长度扭转角[']2.5o/m。试按强度条件及刚度条件选择圆轴的

直径。 解：〔1〕由强度条件选择直径

轴的扭矩图如下图。因为最大扭矩出现在II、III轮之间，所以危险截面出现在此

段内，危险点在此段的圆周上。 maxTIIIII16TIIIII[] 3Wpd16TIIIII3162.006106Nmm d380mm 2[]3.1420N/mm 〔2〕由刚度条件选择直径

12

T1800T321800 [']

4GIpGd'2.006103321800['] 94128010d10'

应选用

。

[习题3-18] 一直径为d的实心圆杆如下图，在承受扭转力偶Me后，测得圆杆外表与纵向线成45的方向上的线应变为。试导出以Me，d和表示的切变模量G的表达式。 解：圆杆外表贴应变片处的切应力为

0

圆杆扭转时处于纯剪切状态，图〔a〕。 切应变 1〕

对角线方向线应变：

〔

图〔a〕

〔2〕

式〔2〕代入〔1〕：

13

[习题3-19] 有一薄壁厚为25mm、内径为250mm的空心薄壁圆管，其长度为1m，作用在轴两端面内的外力偶矩为180kNm。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。材料的切变模量G80GPa。 解：〔1〕求管中的最大切应力 maxTr：

Ip

[习题3-20] 一端固定的圆截面杆AB，承受集度为m的均布外力偶作用，如下图。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为G。

T2(x)dx解：dV2GIpm2x2dx16m2x2dx 41dG2Gd432m2l3m2l3

16GIp6d4G3216m2l216m2l3V4xdx40dG3dG[习题3-21] 簧杆直径d18mm的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力F0.5kN作用，弹簧的平均直径为D125mm，材料的切变模量G80GPa。试求： 〔1〕簧杆内的最大切应力；

〔2〕为使其伸长量等于6mm所需的弹簧有效圈数。

解：

，

14

故

因为

故 圈

[习题3-22] 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图，簧丝直径d10mm，材料的许用切应力[]500MPa，切变模量为G，弹簧的有效圈数为n。试求： 〔1〕弹簧的许可切应力；

〔2〕证明弹簧的伸长解：〔1〕求弹簧的许可应力

用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面局部为截离

体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上：

剪力QF 扭矩TFR

最大扭矩：TmaxFR2

16Fn22(RR)(RR)。 12124Gdmax'\"QTmax4F16FR216FR2d2(1)[]， 33AWpd4R2dd3.14103mm3500N/mm2[F]957.3N

d10mm16R2(1)16100mm(1)4R24100mm因为D/d200/102010，所以上式中小括号里的第二项，即由Q

所产生的剪应力可以忽略不计。此时

d3[]3.14103mm3500N/mm2[F]981.25N

d16100mm16R2(1)4R2d3[] 15

〔2〕证明弹簧的伸长16Fn2(R1R2)(R21R2) 4Gd1T2(Rd) 外力功：WF ， dU

22GIpU2n0(FR)2(Rd)F22GIp2GIp2n0F23Rd2GIp2n0RR1[R12]d

2n34R14F2nR2  4GIpR2R1WU

4R141F2nR2 F24GIpR2R14R1416Fn2FnR22(R1R2)(R1R2) 42GIpR2R1Gd[习题3-23] 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶Me3kNm。材料的切变模量

G80GPa，试求：

（1） 杆内最大切应力的大小、位置和方向；

（2） 横截面短边中点处的切应力； （3） 杆的单位长度扭转角。

解：〔1〕求杆内最大切应力的大小、位置和方向

，

，

由表得

16

长边中点处的切应力，在上面，由外指向里 〔2〕计算横截面短边中点处的切应力

MPa

短边中点处的切应力，在前面由上往上 〔3〕求单位长度的转角

单位长度的转角

[习题3-24] 图示T形薄壁截面杆的长度l2m，在两端受扭转力矩作用，材料的切变模量G80GPa，杆的横截面上和扭矩为T0.2kNm。试求杆在纯扭转时的最大切应力及单位长度扭转角。 解：〔1〕求最大切应力

maxTmax12hii33i130.2106Nmm10mm25MPa 3212010〔2〕求单位长度转角

121Ihii31.15212010392000(mm4)

3i13T18000.2103Nm1800''1.560/m 921243.14GIi8010N/m9200010m't[习题3-25] 图示为一闭口薄壁截面杆的横截面，杆在两端承受一外力偶Me。材料的许用切应力[]60MPa。试求：

（1） 按强度条件确定其许可扭转力偶矩[Me]

（2） 假设在杆上沿母线切开一条纤缝，那么其许可扭转力偶矩[Me]将减至多少？ 解：〔1〕确定许可扭转力偶矩[Me] maxMeT[]

2A0min2A0min17

Me2A0min[] Me2A0min[]

A0(3001.52)(1001.52)28809(mm2)

Me22880936010371240(Nmm)10.371(kNm) [Me]10.37kNm

（3） 求开口薄壁时的[Me]

maxMemax[] ItMe[]It/max

1It[(29797)2]337092(mm4)

3Me607092/3141840(Nmm)0.142(kNm) [Me]0.142kNm

[习题3-26] 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。

两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求： （1） 最大切应力之比； （2） 相对扭转角之比。 解：〔1〕求最大切应力之比

开口：max,开口Me It122r03r0333 依题意：2r04a，故：

It124a3It2r03r03

333max,开口Me3Me3 MeIt4a34a218

闭口：max,闭口MeM2e 2A02amax,开口3Me2a23a max,闭口4a2Me2（3） 求相对扭转角之比 开口：It124a32r03r03 333 开口'M3MeT eGItGIt4Ga3MesMe4aMeTs 22434GA04GA04GaGa闭口：闭口''开口3MeGa33a22 '3Me闭口4Ga4

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