浙教版一元二次方程知识点及习题

概念：只含有一个未知数，并且可以化为ax2bxc0 (a,b,c为常数，

a0)的整式方程叫一元二次方程。

构成一元二次方程的三个重要条件：

①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。

22如：x230是分式方程，所以x230不是一元二次方程。

xx②、只含有一个未知数。 ③、未知数的最高次数是2次。

2、一元二次方程的一般形式：

一般形式：ax2bxc0 (a0)，系数a,b,c中，a一定不能为0，b、

c则可以为0，其中，ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫

做一次项系数；c叫做常数项。任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项…)都可以化为一般形式。

例题：将方程(x3)(3x1)x2化成一元二次方程的一般形式. 解：(x3)(3x1)x2

去括号，得：3x28x3x2

移项、合并同类项，得：2x28x30 (一般形式的等号右边一定等于0)

3、一元二次方程的解法：

(1)、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解）形式：(xa)2b

(2)、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：a22abb2(ab)2，将原

方程配成(xa)2b的形式，再用直接开方法求解.）

bb24ac (3)、公式法：（求根公式：x）

2a(4)、分解因式法：（理论依据：a•b0，则a0或b0；利用提公因式、

运用

十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。）

一：一元二次方程的定义

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）

A 3x12x1 B

21120 x2xC ax2bxc0 D x22xx21

2、若方程(m2)x|m|3mx10是关于x的一元二次方程，则（）

A．m2 B．m=2 C．m2 D．m2 3、关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x+a2－l=0的一个根是0。则a的值为( )

A、 1 B、－l C、 1 或－1 D、

1 24、若方程m1x2m•x1是关于x的一元二次方程，则m的取值X围是。

22(aa2)xaxb0是一元二次方程的条件是（） x5、关于的方程

A、a≠1 B、a≠－2 C、a≠1且a≠－2 D、a≠1或a≠－2

二：一元二次方程的解

1、关于x的一元二次方程a2x2xa240的一个根为0，则a的值为。 2、已知方程x2kx100的一根是2，则k为，另一根是。 3、已知a是x23x10的根，则2a26a。

4、若方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a,b,c满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。

5、方程abx2bcxca0的一个根为（）

A 1 B 1 C bc D a 课堂练习：

1、已知一元二次方程x2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x2+bx+5=0的一个解，求b的值及方程的另一个根．

3、已知2y2y3的值为2，则4y22y1的值为。

4、已知关于x的一元二次方程ax2bxc0a0的系数满足acb，则此方程必有一根为。

三：一元二次方程的求解方法

一、直接开平方法1x90;

2二、配方法

．

练习

2m1)x16是一个完全平方式，那么m的值是1、如果二次三项式x2（_______________

2、试用配方法说明x22x3的值恒大于0。

3、已知x2y24x6y130，x、y为实数，求xy的值。

4、已知x、y为实数，求代数式x2y22x4y7的最小值。

三、公式法

1、x22x80 2、2x25x10

四、因式分解法

1、x22x 2、(x1)2(2x3)20 3、x26x80

五、整体法

例：a2b2a22b260,则a2b2。

变式1：若xy2xy30，则x+y的值为。

变式2：若x2xyy14，y2xyx28，则x+y的值为。 变式3：已知(x2y21)(x2y23)5，则x2y2的值等于。

四：一元二次方程中的代换思想（降次）

典例分析： 1、已知x

2、如果x2x10，那么代数式x32x27的值。

3、已知,是方程x2x10的两个根，那么43.

a32a25a14、已知a是一元二次方程x3x10的一根，求的值。

a21223x1x21的值。 3x20，求代数式

x1

五：根的判别式

1、若关于x的方程x22kx10有两个不相等的实数根，则k的取值X围是。

22、关于X的方程kx6x10有两个不相等的实数根，则k的取值X围是（）

A、k＞9 B、k＜9且k≠0 C、k＜9 D、k≤9且k≠

0

3、关于x的一元二次方程m1x22mxm0有实数根，则m的取值X围是( )

A.m0且m1 B.m0 C.m1 D.m1 4、对于任意实数m，关于x的方程

一定（）

A. 有两个正的实数根 B. 有两个负的实数根

C. 有一个正实数根、一个负实数根 D. 没有实数根

课堂练习：

1、已知关于x的方程x2(2m1)xm220有两个不等实根，试判断直线，并说明理由。 y(2m3)x4m7能否通过A（－2，4）

2、若关于x的方程kx24x30有实数根，则k的非负整数值是。

3、已知关于x的方程x2(k2)x6k0有两个相等的正实数根，则k的值是（） A.

B.

C. 2或

D.

4、已知a、b、c为ABC的三边，且关于x的一元二次方程

cbx22acx3ac0有两个相等的实数根，那么这个三角形是。 45、如果关于x的方程mx22m2xm50没有实数根，那么关于x的方程

m5x22m2xm0的实根个数是。

6、已知关于x的方程x2k2x2k0 (1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。

7.用简便方法计算． （1）－5×（－448）；

（2）（－）×（－81）；

（3）145－24； （4）3c

8.已知25x＝1

1，求x的值． 52ab32÷5c2

5b 2a2

2

9.已知A

10. 已知a11a10，求a21a21111,B,求的值。 A1B1322322的值。

11.已知x23x10，求x2

12的值。 x2 12.已知x3yx29x320，求x1y1的值。

13.已知关于x的方程x22(a1)xa27a40的两根为x1、x1x23x13x220.求(14a24)a2a的值。

x2，且满足