守恒型扩散方程非线性离散格式的性质分析和快速求解

２０１５年８月　Ａｕｇ．，２０１５　计算数学　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡ　ＮＵＭＥＲＩＣＡ　ＳＩＮＩＣＡ　第３７卷第３期　Ｖｏ１．３７，Ｎｏ．３　守恒型扩散方程非线性离散格式的性质分析　和快速求解木１）　崔　霞　岳晶岩　（北京应用物理与计算数学研究所计算物理实验室，北京１０００８８）　摘　要　对于守恒型扩散方程，研究其二阶时间精度非线性全隐有限差分离散格式的性质，证明了其　解的存在唯一性．研究了二阶时间精度的Ｐｉｃａｒｄ—Ｎｅｗｔｏｎ迭代格式，证明了迭代解对原问题真解　的二阶时间和空间收敛性，以及对非线性离散解的二次收敛速度，实现了非线性问题的快速求解．　本文中方法也适用于一阶时间精度格式的分析，并可推广至对流扩散问题．数值实验验证了二阶　时间精度Ｐｉｃａｒｄ—Ｎｅｗｔｏｎ迭代格式的高精度和高效率．　关键词：守恒型扩散方程；非线性全隐离散格式；二阶时间精度；存在唯一性；迭代加速　ＭＲ（２０００）主题分类：６５Ｍ０６，６５Ｍ１２，６５Ｂ９９　１．引　言　非线性全隐离散格式已广泛应用于扩散问题的数值求解［１－３ｊ．它能够取消算子方法　和显式方法的稳定性时间步长．二阶时间精度非线性全隐离散格式更适应于瞬变问题的　更精确求解【　，引．但对守恒型扩散问题，这一类离散格式的理论分析还比较少．关于其精度，已　有文献只是利用截断误差给出简单的说明．关于其迭代方法的研究，也仅限于数值实验的比　较．　周毓麟先生等发展的离散泛函分析方法【。］为迭代方法的理论分析提供了有力的工具．其　中，非线性全隐离散格式的　。。（日　）收敛性是迭代解的收敛性和收敛速度证明的一个充分条　件．对于非守恒型扩散方程，该收敛性不难证明，但对守恒型扩散问题，则并非易事．研究的难　点在于守恒型扩散算子非线性离散项的估计．对非守恒型扩散问题，通过选取检验函数为试探　函数的二阶空间中心差商离散，容易应用强制性条件得到扩散算子的下界估计，并利用对应于　时间导数离散项的分部求和，得到Ｌｏ。（Ｈ　）收敛性．而对守恒型扩散问题，扩散算子非线ｆ生离　散后，得到的误差项复杂得多，这种方法难以应用．事实上，即使一阶时间精度非线性离散格式　的分析也尚不完善；因而，已有关于迭代方法的理论分析中，常将非线性全隐离散解的收敛性　作为假设条件【１Ｊ．作者在非线性耦合问题研究【７ｊ　８Ｊ的基础上，在文献［９］中，采用不同的检验　函数（试探函数的一阶时间差商离散），利用对应于扩散算子离散项的分部求和，给出不同于非　守恒型问题和线性格式分析的两种新的归纳假设论证方法一利用Ｌｏ。（Ｌ　）收敛性结果的两步　推导证明方法和利用试探函数前一时间步一阶空间差商最大模估计的单独直接证明方法，建　立了守恒型扩散问题非线性全隐离散解的　ｏ。（日　）收敛性估计，并给出了稳定性分析结果．　２０１４年１２月ｉ０日收到．　）基金项目：国家自然科学基金（１１１７１０３６，１１２７１０５４，１１３０１０３３），中国工程物理研究院科学技术发展基金　（２０１２Ｂ０２０２０２６，２０１４Ａ０２０２０１０），计算物理实验室基金．　）通讯作者：岳晶岩，Ｅ－ｍａｉｌ：ｙｕｅｊｉｎｇｙａｎ＠ｉａｐｃｍ．ａｃ．ｃｎ．研究方向：辐射流体力学计算方法．　２２８　计算数学　２０１５焦　本文证明非线性全隐离散格式的存在性和唯一性．分别采用了类似于文献［１０】和［１１】的　思想．利用不动点理论，建立解的存在性．通过估计假定存在的两个解，证明其差的　范数为　０，得到解的唯一性．与文献【１０］和［１１］中对非守恒型扩散问题的研究相比，对非线性守恒型　扩散算子，需要新的更细致的处理．其中，非线性全隐离散解的唯一性证明中利用了该格式的　ｏ。（日　）收敛性的结论．此外，给出二阶时间精度Ｐｉｃａｒｄ—Ｎｅｗｔｏｎ迭代格式的理论分析，包括　迭代解对原问题真解的收敛性和对非线性离散格式解的收敛速度．文中对于守恒型扩散问题　非线性离散格式的分析对于一阶和二阶时间精度格式均适用，并且其思想可以推广至对流扩　散问题，以及非线性有限体积格式和有限元格式的理论分析．　考虑如下的二维非线性守恒型扩散方程：　ｔ—　·（ｎ（　，　，ｔ，ｕ）ｖｕ）＝ｆ（ｘ，　，ｔ，ｕ，ｕ。，“ｒ　），　（　，　）∈Ｑ，ｔ∈（０，　】；　（　，　，ｔ）＝０，　（　，　，０）＝ｕｏ（ｚ，　），　（　，　）∈ａＱ，ｔ∈（０，Ｔ】　（　，　）∈Ｑ．　（１．１）　（１．２）　（１．３）　这里，　＝　＝器为函数　关于变量　的偏导数．Ｑ：（０，　１）×（０，　２）为Ｒ　中的矩形　区域，边界为ａＱ．（０，　】为时间区域．　１，　２和　为正常数．扩散系数０＝ａ（ｘ，　，ｔ，ｐ），源项　ｆ＝ｙ（ｘ，　，ｔ，Ｐ，口，ｒ）和初始函数ｕｏ（ｚ，　）为已知函数．　本文研究在如下假设条件下进行　假设１．存在正常数ｎ　和ｎ　，使得０　ａ（ｘ，　，ｔ，Ｐ）　ｎ　对所有（　，　，￡，Ｐ）∈　×【０，Ｔ］×Ｒ　都成立．　假设２．偏导数ｎｔ有界．０ｐ连续，且其关于　，　，　和Ｐ的偏导数有界．，关于Ｐ，ｑ和ｒ　的偏导数有界．　假设３．问题（１．１）一（１．３）存在唯一光滑解　∈　（Ｑ×［０，　】）．　将区域（０，Ｌ１）×（０，　２）Ｘ（０，Ｔ】均匀剖分为Ｉ×Ｊ　Ｘ　Ｍ个小区间，剖分步长为ｈｉ＝争，　ｈ２＝　，７－＝击．记ｈ＝ｍａｘ（ｈｉ，　２），　ｔ＝ｉｈｌ，　＝ｊｈ２，　＝（　，　）和　：钆丁．对　函数　和妒，记　＝　（　），咖　＝　（　ｔ，　）．令　＋　为　和也＋１，Ｊ的代数平均．令　ｄｔ　叶　＝｛（妒ｎ＋　一　）为逼近馆“的向后差商，ｏｔｔ　＝　（砂计　一２　＋　一　）为逼近　嚣的中心差商．以如　＋　，Ｊ＝击（　＋１，Ｊ一　）和以　＝互　１（　＋１，Ｊ一也一１，Ｊ）分别表示导数　在点　处的向前和中心差商．记如　巧＝击（　＋　，Ｊ一　一　），于是醴　＝如（　）　＝　击（如　＋　，ｊ一如　一　，Ｊ）．类似地定义　，Ｊ＋　，　，　，　，　咖　和跨　．　文中，若　＝０或ｉ＝Ｉ，或Ｊ＝０或Ｊ＝Ｊ，则称点　为边界点（ＢＰ），否则，称之为内点　（ＩＰ）．内点和边界点构成所有的点（ＡＰｓ）．令　为一般正常数，Ｅ为小的正常数，它们在不同　３期　崔霞等：守恒型扩散方程非线性离散格式的性质分析和快速求　处均可有不同的含义．对函数　，　，　，记　。ｚ　ａ（　ｉ＋吾，ｙｊ，＂Ｉｎ＋１，　ｎｔ＋＋毒ｌ）·　糍，Ｊ（　）　Ｊｎ拳　（　）　¨（　）　＝ａ（ｘｉ，　＋　，￣－ｎ＋ｌ，　ｐｎＪ＋＋ｌ　＼，·　，（　，　，　＋　，　’，巩　，吼　）．　（ｎ（　）　圣）　（ｎ（　）　）　＋　（ｎ（　）　）　去　如（　Ｉ——１　Ｊ——１　ｊ～　）如　如］　＋去　＋　（　）　西　＋　一ａ　一　（　）　一划　（　）　西，　皿）　∑∑０ｔ＋　）　件　，ｊ瓦　件　，５ｈｌｈ２　ｉ＝Ｏ　Ｊ＝１　１　Ｌ，一１　＋∑Ｅ　０ｔ，Ｊ＋　（　）　＋　定义离散　，Ｌｏｏ和Ｈ　空间范数如下：　／工　Ｊ　Ｌ一　＋　ｈ　＾　·　、　．　（　。）’。　ｌ　ｌ　嚣　【　．ｌＩ　ｌＬｏｏ（Ｌ。。）　ｌｖｌ－　一　Ｉ－ＩＩ　Ｉ　：（（　１ｉ∑暑　＝０　５ｘ￣ｉ＋￣，ｊ１２ｈｌｈ２＋Ｉ　－１　Ｊ§－１　什￣＋　／［２ｈｔｈ２））‘。．　ｍａｘ记　ＩＩ＝　ＩＩＬ。．在此基础上，定义　ＩＩＬｏ。（Ｌ。）：　：ｏＩｌ＇Ｍ　器警，Ｍ　ｌ　ｌＩｌｏｏ，　／Ｍ　、　。。（日　）＝　器警，Ｍ　ＩＩ　ｌｌｊ　ＩＩ￣ｌｌＬ。（Ｌ。）　（丁　１　Ｉｌ　ｌ／），等等　ｌＩｑ　Ｋｑ１］５￣］ｌ，Ｖｑ　２　２．　些有用的性质：　离散Ｓｏｂｏｌｅｖ不等式［１２，１３］：　当ｈ　Ｓ　ｅ一时，有　Ｉ１。。　Ｋ１　Ｉｎ　ｈｌｌｌａ￣１］．　引理１．（离散Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式【６】）假设离散函数　＾＝｛ｕ　ｌ　＝０，１，…，Ⅳ｝（ＮＴ　Ｔ）　满足不等式　Ｃ＋∑Ｐ　ｋ７－，　这里，Ｃ和　（ｋ：１，…，Ⅳ）为非负常数，佗　Ｎ．则　ｍａｘｃｅ。吾　这里，丁充分小，使得丁（　：　，Ⅳ　）　１·　２３０　计算数学　引理２．（递推不等式［１３］）设｛）（　）为非负数序列，满足　）（。＋１　Ａ１）（　＋Ａ２）（ｓ）（ｓ＋１＋Ａ３，　Ｖｓ　０．　其中，Ａ　（　＝１，２，３）是非负数，则当４Ａ３（Ａ１＋Ａ２）　１且Ｘｏ　２Ａ３时，有　）（。　２Ａ３，Ｖｓ　１．　本文大致结构如下：§２给出二阶时间精度非线性全隐离散格式解的存在性证明，§３证明　其解的唯一性，§４给出一阶时间精度非线性全隐离散格式解的存在唯一性．§５证明二阶时间　离散Ｐｉｃａｒｄ—Ｎｅｗｔｏｎ迭代解对原问题解的二阶时间和空间收敛性，§６证明迭代解对非线性全　隐离散格式解的二次收敛速度．§７给出数值实验和比较，验证Ｐｉｃａｒｄ—Ｎｅｗｔｏｎ迭代的精度和　效率．　２．二阶时间精度非线性全隐离散格式解的存在性　引入以下假设．　假设４．丢　Ｃ　，这里Ｃ　为任意大的正常数．　假设５．Ｃ＋　吾　Ｃ　，这里　和Ｃ　分别为任意小和任意大的正常数．　在假设３之下，易知　Ｖ．（ａ０Ｖｕｏ）＋ｆ。．　ｕｏ【ａ　＋０　０＿“ｔ０）Ｖ　０＋ａ０ｖｕ￣］＋　＋　＋，２　（ｕ　）　＋　（ｕ　）　．　这里，ａ。＝ａ（ｘ，Ｙ，０，ｕｏ），ｆ。＝ｆ（ｘ，Ｙ，０，ＵＯ，ＵＯ　，札０　），等等．于是，熟知的二阶时间离散全隐有　限差分格式可表述如下：　（　（　）　州）　（　），　一１；　（２．１）　（２．２）　＋　＝０ＢＰｓ；　礼＝１，２，．．．，Ｍ皑＝ｕ。（　），　＝　。（％）＋丁钆　ｊ）＋去丁２　（％），ＡＰｓ　它是一个含三个时间层的非线性格式，需通过适当的迭代方法求解．　（２．３）　记，“　＝Ｕ（Ｘｉｊ，　）为方程（１．１）一（１．３）的真解．由Ｔａｙｌｏｒ展开，容易得到下面的截断误差．　苟　＝：兰ｄｔｕ￣＋１一　一　州（“，）　Ｕｎ＋１）　（钆）　（２．４）　０（　。＋７－２），　ＩＰｓ；　ｎ：１，２，．．．，Ｍ—ｌ；　Ｒ｛巧　＝：　札　一札。（　）一７－ｕ　（　）一去丁２ｕ　（　巧）＝。（７－。），　Ｐｓ．　（２．５）　｛Ｉ１　ｌｌＬ。。（Ｌ。ｏ），ｌｌ６ｕｌｌＬｏｏ（Ｌｏｏ））　Ｋ．　（２．６）　定理１．在假设１－３，５下，非线性全隐有限差分离散格式（２．１）一（２．３）至少存在一个解，满　足估计　若ｆ＝ｆ（ｘ，Ｙ，ｔ，　），则该条件可以放宽为假设１—４，关系式（２．６）变为　ｌＩ　ｌｌＬ。。（Ｌ。。）　Ｋ．　（２．７）　３期　崔霞等：守恒型扩散方程非线性离散格式的性质分析和快速求解　２３１　证明·记ｅ　：　程　一　．将（２．１）和（２．３）分别与（２．４）和（２．５）相减，得到如下的误差方　１　ｅ　一　州（　ｅｎ＋１）　５（［ａｎ＋ｌ（　）一。　＋　（ｕ）】　”＋　）　＋　＋　（　）一　＋　（　）＋Ｒ　，　ＩＰｓ；　（２．８）　ｅ　＝０，　ＢＰｓ；　Ｉ＂ｔ＝１２　．，Ｍ一１；　（２．９）　（２．１０）　ｅ易＝０，ｅ￣ｉ＝Ｒ　经推导，得到　ＡＰｓ．　（【ｎｎ＋　（　）一ａｎ＋ｌ（　）］　ｕ叶　）　＝５（Ｐｎ＋　（　，　）ｅ卅　５ｕｎ＋　）　Ｂ　（　，　）ｅ件ｎ＋｛ｌＪ＋　（　，　）　ｎＪ＋＋ｌ　＋　（　，　）疋ｅ　＋Ｇ　（　，　）　ｅ　，　“（　）一　＋　（　）　Ｄ　（　，　）ｅ　＋霸＋　（钆，ｕ）ｏｘｅ　＋　＋　（　，　）　ｅ　，　（２．１２）　这里，　Ｂ　（　，　）　＋　（札，　）　（ｕ，　）　Ｊ　ｕ，　）　２－“　ｎ＋　＋如　＋　（　，　）如钆　（　，　）　２“巧ｎ＋　＋　Ｊ（　，ｕ）５　＋ｌ　＋　（ｕ，ｕ）５　ｎ』Ｇ　（　，　）　ｕ）ａ　ｕ　｛，　Ｄ　（　，　）　／ｎ　（％　，　＋１，Ｑ叼“＋（１一　）　，ｏｇｘＵ￣＋１　）ｄａ，　“（　，　）　／ｏ　（　，　，　十　，　，　巩％＋　＋（１一Ｑ）如　，　＋　）ｄＱ，　“（乱，　）　／ｏ　（％　，　＋　，乱　１，如ｕ　，　＋　＋（１一ａ）　）ｄａ，　ｐ件／ｎ＋　１　（　）　／ｎ　ｎ　（％十　，　，　＋１，　ｒ　ｒ冲ｎ＋　ｌ，Ｊ＋（１一　）　ｎ＋＋　ｌ，ｊ）ｄａ，　等等．　注意到（２．１１）和（２．１２），我们可以将误差方程（２．８）写成如下的等价形式　兰ｄｔｅ￣＋１一　。州（　６ｎ＋１）　＋Ｂ　（　，　）ｅ件ｎ＋　ｌｌ　＋Ｄ　（　，　）ｅ　Ｊ＋ｃ　（钆，　）ｅｎｔＪ＋＋　（　，　）如ｅ　＋Ｇ　（ｕ，　）　ｅ　＋　＋　（　，　）巩ｅ　＋　（　，　）岛ｅ　＋Ｒ苟　，　ＩＰｓ　（２．１３）　在．（　＋１）（　＋１）（Ｍ＋１）维Ｅｕｃｌｉｄ空间Ｒ　＝Ｒ（¨　）（Ｊ＋　）（Ｍ＋　）中，构造映射Ｏ：Ｒ　＿÷Ｒ＋将Ｒ　映射到自身：对任意钍∈Ｒ　，相应的映射ｅ△＝ｅ（ｚ△）是具有齐次边界条件（２９）和　２３２　计算数学　２０１５焦　初始条件（２．１０）的线性方程组　（　一　１　巧ｎ）一　ａｎ＋ｌ（乱　＋１）　Ｂ　（　，　＋ｚ）ｅ件ｎ＋如ｌ＋　＋　（ｕ，　＋　）ｅ　ｎ＋＋ｌ　＋Ｄ　（ｕ，　＋　）ｅ　（钆，ｕ＋　）５ｘｅ　＋Ｇ　（钆，钆＋　）　ｅ　＋霸＋　（ｕ，　＋　）巩ｅ　＋　＋　（ｕ，．“＋　）　ｅ　＋Ｒ　，　ＩＰｓ　（２．１４）　的解·对任意ｚ△∈Ｒ　，解ｅ△：＠（　△）∈Ｒ　存在且唯一．（事实上，对　△∈Ｒ　，下面的形式推　导（２．１７）‘（２．２１）仍成立，即可知线性格式（２．１４）是稳定的，因此其解存在唯一）　令Ｇ为正常数，它大于原问题　（１．１）一（１．３）的唯一解乱和其偏导数　，Ｕ　，札ｚｚ，Ｕ　，Ｕｔ的　最大模，即　ｕ（ｘ，Ｙ，ｔ）ｌ，ｌ　ｚ（　，Ｙ，ｔ）ｌ，ｌＵｙ　ｘ，Ｙ，ｔ）ｌ，ＩＵｘｘ　ｘ，Ｙ，ｔ）ｌ，　Ｕｙｙ（Ｘ，Ｙ，ｔ）ｌ，ｌｕ，（ｘ，Ｙ，　）Ｉ　Ｇ，Ｖ（ｘ，Ｙ，ｔ）∈　×［０，Ｔ］　令Ｑ　ｃ　Ｒ　为由　（２．１５）　Ｑ＝｛【　△　　。　Ｏ　ｎ≤Ｍ　ｒ　Ｇ．。　冲ｊ　Ｇ　Ｉ一　＜忆＜』　一　～＜　Ｇ　１５ｙ　ｎ　Ｊ＋　１（２．１６）　０＜ｎ＜Ｍ　定义的一个有界闭子集．显然，Ｑ为Ｒ　的一个凸子集．于是Ｏ：Ｑ＿÷Ｒ　将Ｑ映射到Ｒ　将（２．１４）两端同乘以ｅ　ｈｌｈ２７，并对所有内点和ｎ＝１，２，¨．，Ｎ一１（２　Ⅳ　Ｍ）求和简记所得等式为Ａ　＋　＝ＢⅣ．逐项估计之．　首先，对相应于时间导数二阶离散的项，经过仔细的推导，并利用ＨＳｌｄｅｒ不等式以及　ａｂ　Ｅａ　＋　６。（分别取　＝　和Ｅ＝　），我们有　Ａ　＝∑∑∑（∑－１　∑Ｉ－１　Ｊ∑－１（，芸号　ｄｔｅ￣ｊ＋　Ａ　：ｎ＝ｌ　ｉ＝１　ｊ＝ｌ＼　Ｎ、）ｅ矿　ｍｚ丁　Ｎ去ＩＩ￣ＮＩＩ。＋　也　Ⅳ　＋　１　Ｉ－１　Ｙ－１　ｅＮ巧　Ｎｍ　丁　ｅ　ｌｌ。一　ｌｌ　丁。一　１　Ｉ　－１　Ｊ　－１　０＝１　Ｊ＝１　。　ｈｌｈ２Ｔ＋　∑－－１　几＝１　Ｉｌ　丁　ｅⅣ　ｌⅣ一１　ｌ。ｒ。每ｌｌ　。＋　Ⅳ一１　．（２　）　（２．１８）　利用关于空间指标的分部积分，并注意到边界估计（２．９）和假设１，得到　∑ａｎ＋ｌ（　＋　）沈州，￣ｅｎ＋１）ｒ　ａ　∑１￣Ｓｅｎ＋ｌ　ｎ＝１　ｎ＝１　３期　崔霞等：守恒型扩散方程非线性离散格式的性质分析和快速求解　２３３　注意到（２．１１），利用分部求和公式和ＨＳｌｄｅｒ不等式，有　Ｎ－１　Ｎ一１　Ｎ一１　ＢⅣ　Ｋ∑Ｉｌｅｎ＋ｌ　＋　∑ｌ　＋　＋￡∑［１５ｅｎ＋ｌ　（２．１９）　综合（２．１７），（２．１８）和（２．１９），对所得关系式进行整理，得到　Ｎ一１　Ｎ一１　【ｌ。＋∑ＩＩ５ｅｎ＋ｌ　＋　ｅⅣ　＋∑　ｅ“　Ｎ——１　Ｎ　—１　Ｋ（１ｌｄ　Ｉ　Ｉ＋ｌｌｄｔｅＩ　ＩＩ　下。＋∑ＩＩＲＦ＋　１１２￣）＋Ｋ∑Ｉｌｅｎ＋ｌ　利用离散Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式，再注意到（２．１０），（２．４）和（２．５），于是有　Ⅳ～１　Ⅳ一１　（２．２０）　ｌＩｅⅣｌｌ。＋∑１１５ｅ￣＋１　＋　ｅⅣ　。＋∑　ｅ　Ｋ（ｈ　＋丁　）．　（２－２１）　注意到２　Ｎ　Ｍ，１ｌｅ。ｌｌ＋Ｉｌｅ　ｌｌ＝Ｏ（ｈ　＋Ｔ２），于是，对礼＝０，１，…，Ｍ，我们有　Ｉｌｅ　【　Ｋ（ｌｈ。＋丁　）．　对ｄ　４（ｄ为空间维数），由离散逆不等式，ＩＩ￣ｌｌ。。　一　，有　（２．２２）　ｌｌｅ　ｌｌ。。　ＫｏＫｈ—ｉｄ（＾　＋７－　）　Ｋ１，　这里，　１为正常数．为得到（２．２３）的最后一个不等式，我们利用了假设４　这样，若Ｇ≥Ｋ１，则　Ｊ　０　＜ｉ　＜１　０　，＜Ｊ＜　（２２３）　ｌｅ　Ｉ　Ｇ（２．２４）　０＜ｎ＜Ｍ　若ｆ＝ｆ（ｘ，Ｙ，ｔ，钆），则以定义　Ｑ＝　。　（２．２５）　代替（２．１６）．此时，取Ｇ满足Ｇ　Ｋ１和ｆ２．１５）．　若ｆ＝ｆ（ｘ，Ｙ，ｔ，　，　。，ｔｉｙ），我们还需继续给以推导．注意到，对２　Ｎ　Ｍ，（２．２１）式成　立；在假设４下，『　Ｉｅ。ｌｌ＋Ｉ　Ｉｅ　ｌｌ＝Ｏ（ｈ　＋Ｔ２）；于是对ｎ＝０，１，…，Ｍ，我们有　Ｉｌ　ｅ　对ｄ　３，由离散逆估计，有　ＫＴ一　（ｈ　＋７－２）．　ｆ２．２６）　ｌＩ　ｅ　ＩＩｏ。　ＫｏＫｈ—　７－一　（ｈ。＋７－。）　这里，　，　（２．２７）　，则　为正常数．为得到（２．２７）的最后一个不等式，利用了假设５．于是，若Ｇ　ｍａ　ｘｘ　ａ０　１ｔ　　０　Ｊ　１５￣ｅＬ￣，２　ｊｌ　Ｇ，　０　ｍ０　Ｊ　１　Ｉ５ｙｅ￣，．Ｊ＋　ｌ　Ｇ．　１，≤Ｊ≤　≤Ｊ≤’　＜　＜　，＜，＜一　。　，了十喜。一　０＜ｎ＜Ｍ　一０一　ｎ　』　（２．２ｓ）、　计算数学　此时，取Ｇ满足Ｇ　ｍａｘ｛Ｋ１，　）和（２．１５）．　综合上述，由（２．２４）（或者它和（２．２８）），可知ｅＡ＝Ｏ（ｚａ）∈Ｑ．从而Ｏ（Ｑ）ｃ　Ｑ．映射　圣：Ｑ－÷Ｒ　将Ｑ映射到Ｑ　ｃ　Ｒ　自身．利用Ｂｒｏｕｗｅｒ不动点定理，该映射至少有一个不动点　ｅＡ，使得Ｏ（ｅＡ）＝ｅ△，即ｅ△是具有齐次离散边界条件（２．９）和离散初值条件（２．１０）的方程组　１　ｅ　一　ｅｎ一　（　０　（乱＋ｅ）　“）巧　Ｂ　（乱，　＋ｅ）ｅ糍，Ｊ＋　（乱，　＋ｅ）ｅ　髯｛＋Ｄ　（“，　＋ｅ）ｅ　＋Ｅ　（ｔ￡，ｕ＋ｅ）　ｅ　＋Ｇ　（　，ｕ＋ｅ）　ｅ　＋　＋　（　，　＋ｅ）　ｅ　＋伤“ｕ，　＋ｅ）　ｅ　＋Ｒｌｎ／￣　，　ＩＰｓ　的解．于是　＝ｕ△＋ＣＡ是差分方程组（２．１）一（２．３）的解　（２．２９）　３．二阶时间精度非线性全隐离散格式鹪的唯一性　我们有［９】．　引理３．在假设１—４下，对非线性全隐离散格式（２．１）一（２．３），有如下的　ｏ。（日　）收敛性　＿ｌｅｌ】Ｌ　（Ｌ２）＋ｌＩｅｌｌＬ。。（日　）＋ｌｉｄｔｅｌｌＬ　（Ｌ。）＋７ｌＩＩ　ｔｅＩＩＬ　（Ｌ。）＋７－　ｌＩｄｔｅｌｌＬ。（日　）：Ｏ（ｈ　＋７－　）　定理２．在假设１—４下，非线性全隐离散格式（２．１）一（２．３）的解是唯一的．　ｉ￣，ｔ／１．假设全隐格式（２．１）一（２．２）除　＋　之外，还有一个解叼¨．将二者满足的离散方　程相减，记　¨：％“一叼“，则有　薹　一　一　州（　州　（［０　＋　（　）一ａｎ＋ｌ（　）］　”＋　）　＋　＋　（　）一　＋　（　），　“ＩＰｓ；　（３．１）　（３．２）　＝０ＢＰｓ　＝０，　ＡＰｓ　０，　（３．３）　将（３．１）两端同乘以　＋　１　２　７－，对所有内点和ｎ＝１，２…．，Ｎ一１（２　Ｎ　书写简洁，记所得的方程为ｘ　十ｘ　＝ｙ　＋ｙ　．逐项估计之．　首先，对于相应于空间导数二阶离散的项，得到　Ｚｌ）求和．为　＝∑∑∑（∑－１１∑－１　∑Ｊ－１（　缸　．　一　：ｎ＝ｌ　：１，＝ｌ　Ｎ）　　州ｍ。丁　。“　ｎＩ　Ｉ丁　．（３．４）　利用对空间指标的分部求和，并注意到边界估计（３．２）和假设１，有　ｘ　（３．５）　３期　崔霞等：守恒型扩散方程非线性离散格式的性质分析和快速求解　２３５　这里用到了ＩＩＵＩＩＬ。。（Ｌ。。）　Ｋ．在假设４下，利用引理３，可知该不等式对ｄ　４成立　利用离散逆不等式和引理３可知，对ｄ　４，　５Ｖ　＋　ＩＩｏｏ　Ｋｏｈ—ｄ－ＩＩＹ一　ＩｌＬｏ。（日　）＋ＩＩ￣ｕｌｌＬｏ。（Ｌｏ。）　这里，　１为正常数．上述最后一个不等号在假设４之下成立　利用分部求和，Ｈ６１ｄｅｒ不等式，　１，　（３．６）　和（３．６），可知　ｎ蔫，Ｊ（　）一口　，Ｊ（　）　（ＩＩ　ｎ＋＋ｌｌ’Ｊｌ＋Ｉ　“１）　～∑　ｎ　一　（３·７）　０　＋　　一Ｎ一１　０　竹　∑（ＫＩＩＷ州ＩＩ。＋￡Ｉ　州ＩｌＩ　）丁　礼＝＝１　＋　（３．８）　利用ＨＳｌｄｅｒ不等式和　Ｊ　＋　（　）一　＋　（　）Ｊ　可知　Ｎ一１　他　＋　（１　＋　Ｉ＋ｌ　佗　＋　Ｉ＋Ｉ　＋　Ｉ），　（３．９）　＋　『　∑（ＫＩＩＷ州ＩＩ　＋￣ｌｌＳＷ州ＩＩ　）７－．　ｎ＝１　（３．１０）　综合（３．４），（３．５），（３．８）和（３．１ｏ），并对所得的关系式进行整理，得到　ＩＩＷⅣＩＩ。＋ｌｌｄｔＷⅣＩＩ。７．　＋∑ｌ　＋　Ｉｌ　Ｉ７－＋∑ＩＩＯ．Ｗ　Ｉｌ。丁　ｎ－－１　ｎ＝１　Ｎ一１　Ｋ（ＩｔＷ　ｌｌ。＋　于是，利用离散Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式，有　）＋Ｋ∑ＩＩＷ州　（３．１１）　Ｎ一１　Ⅳ一１　ＩＩＷⅣＩＩ　＋　ⅣＩＩ。７＿　＋∑ｌ　”＋ｌ　ＩＩ。丁＋∑Ｉｌ　ｔ　ＩＩ　丁　ｎ＝１　ｎ＝１　ｇ（ＩｔＷ　ＩＩ。＋ｌＩｄｔＷ　ＩＩ　７－。）．　注意到初始条件（３．３），上式右端为０．于是　”ｌｌ＝０，ｎ：０，１，２，…，Ｍ　这意味着　（３．１３）　三０对Ｖｉ＝０，１，…，ｚ；ｊ＝０，１，…，　和ｎ＝０，１，２，…，　恒成立，于是　三　，即全隐格式（２．１）一（２．３）的解是唯一的．　计算数学　４．一阶时间精度非线性全隐离散格式解的存在唯一性　阶时间离散非线性全隐有限差分格式表述如下　也　＋　一　（０　＋　（　）　＋　）ｉｊ：　＋　（　），　ＩＰｓ　＋　＝０（４．１）　（４．２）　（４．３）　ＢＰｓ；　他＝０，１，２　．，Ｍ一１；　吧＝　０（　玎），ＡＰｓ．　假设６．景　Ｃ　，其中Ｃ　为任意大的正常数　假设７．　Ｃ　，其中　和Ｃ　分别为任意小和任意大的正常数　利用类似于［。１的推导过程，可以证明　引理４．在假设１—３，６下，对非线性全隐离散格式（４．１）一（４．３），有如下的　ｏｏ（日　）收敛性　ｅＩＩＬ。。（Ｌ　）＋ＩＩｅｉＩＬ。。（Ｈｉ）＋Ｉｌ也ｅｌＩＬ。（Ｌｚ）＋￣￣Ｌ　ＬｄｔｅＩＩＬ　（日　）＝ｏ（ｈ　＋丁）　类似于定理１的推导，可以得到一阶时间精度非线性全隐格式解的存在性．　定理３．在假设１－３，７下，非线性全隐有限差分离散格式（４．１）一（４．３）至少存在一个解，满　足估计（２．６）；若ｆ＝ｆ（ｘ，Ｙ，ｔ，钆），则条件可以放松为假设１－３，６，关系式（２．６）变为（２．７）．　利用引理４，类似于定理２的推导，可以得到一阶时间精度全隐格式解的唯一性．　定理４．在假设１－３，６下，非线性全隐有限差分离散格式（４．１）一（４．３）的解是唯一的．　５．Ｐｉｃａｒｄ—Ｎｅｗｔｏｎ迭代的收敛性分析　本节考虑用于快速精确求解非线性问题（１．１）一（１．３）的Ｐｉｃａｒｄ－Ｎｅｗｔｏｎ迭代格式，给出其　收敛性分析．　对ｎ：１，２，．．．，Ｍ一１，考虑从　到　＋１时刻的计算．令ｓ为迭代指标，它一般在一对括　号中出现．对函数　，记　口　（　）＝ｎ（　，　，　＋１ｊ　麓　＋　‘　（　）＝ＪＰ（　ｔ，　，　＋１，　‘　，０ｎ　＋ｌｉｓ）‘　）　类似定义。　ｎｄ－＋ｌ（ｓ　　（　）以及对。　，　，　，　等的相应记号．再记　Ｌ（ｆ　＋　（　（　）　＋　（　＋　）一　＋　（　’　（　）［　＋¨一咖　］＋　‘　（　）　≯　‘　＋¨一良　’］　＋　易＋　‘。　（　）［如　＋¨一　‘。　］．　３期　崔霞等：守恒型扩散方程非线性离散格式的性质分析和快速求解　２３７　定义Ｐｉｃａｒｄ－Ｎｅｗｔｏｎ迭代如下【。　［耋　羔　一１互　ｄｔ％］一　ｃ。　＋１　ｃｓ　ｃ　＋１　ｃｓ＋１　％　＝　（｛０　＋　（　（　）［　＋　（ｓ－｝－ｉ）一　＋　（　］）　＋　（　）巧　十　‘　（　）＋ＯＬ（Ｉ　ｎ＋　（８　（　）［　”＋　（ｓ＋　）一Ｕ”＋　（ｓ　】）　，　ＢＰ８　“　“　Ｐｓ　（５．１）　（５．２）　ＡＰｓ　（５．３）　这里，０＝１时为Ｎｅｗｔｏｎ迭代；０＝０时为传统的Ｐｉｃａｒｄ迭代．该迭代格式是利用文献［２】中　给出的线性化一离散（ＬＤ）方法导出的．利用该方法，Ｎｅｗｔｏｎ迭代可被视为是Ｐｉｃａｒｄ迭代的　种修正，易于对基于Ｐｉｃａｒｄ迭代的程序实施加速，我们称之为Ｐｉｃａｒｄ—Ｎｅｗｔｏｎ迭代．　注１．利用ＬＤ方法，在线性化之后采用不同的离散方式，可以构造不同的Ｎｅｗｔｏｎ迭代　格式．这里，利用时间和空间算子的二阶离散设计的Ｎｅｗｔｏｎ迭代，记为Ｎｅｗｔｏｎ２．若采用对　＋　的一阶近似，　即，将（５．１）中的第一项，对ｉ３也　ｎ＋　一　１ｄｔ　＝　ｔｎ＋　＋Ｏ（Ｔ。）的近似，替换　ｄｔｕ　＋　＝札　＋　＋０（７－），将初值（５．３）变为　＋　（。）＝Ｕ　，则得到的就是含　两个时间层的一阶时间精度Ｐｉｃａｒｄ—Ｎｅｗｔｏｎ迭代，记为Ｎｅｗｔｏｎ１．　！±　！！±　≈　记喏＋　‘　＝％＋　‘　一　，我们有　定理５．在假设１—４下，迭代（５．１）一（５．３）的解对原问题（１．１）一（１．３）的真解具有二阶时间和　。和日　模空间收敛性，且该收敛性对８是一致的，即，　Ｖ　＋　（　）ｌｌ＋Ｉ　ｎ＋　（。）Ｉｌ＝Ｏ（ｈ　＋７－　）　证明．为节省篇幅，仅给出Ｎｅｗｔｏｎ迭代的证明，略去较简单的Ｐｉｃａｒｄ迭代的证明．记　Ｒ鲂　＝一丁。　＝ｏ（丁　）　（５．４）　将（５．１）与（２．４）相减，并注意到（５．２），得到如下误差方程　『兰挚专　）５ｖｎＮｌ（ｓ＋１）　（５．５）　【　（［０礼＋　（。）（　）一口竹＋　（　）］　札ｎ＋１）　＋　（｛０　＋　（　（　）　＋　（　＋　）一　＋　（。　］）　［　”＋　（　＋乱　＋　］）玎】　＋［　＋　（　’（　）一　＋　（ｕ）　＋ＳＬ（ｆ　＋　（　（　）　＋　（。＋　）一＂卅　（。　４－Ｒ　］，　ＩＰｓ；　（。＋　０ＢＰｓ；　ｓ：０，１…２．．；　（５．６）　（５．７）　∞＝２ｅ　ｅ　＋Ｒ　，　ＡＰｓ．　这里，（５．７）由（５．３）和（５．４）得到．　下面为记号简单，在不引起混淆的情况下，略去上标ｎ＋１，并略去上标ｓ和ｓ＋１两边的　括号．例如，记屹＝屹＿＋　，等等．以（喵　一ｅ　）＾　ｈｚ乘以（５．５）两端并对所有内点求和，记　２３８　计算数学　所得等式为　＋　＋　¨＝Ｑｉ＋　＋Ｑ　，我们有　ｌｌ２Ｔ－－　．　先假设　Ｉｌ　凰．　利用分部求和，得到　＋　＝（ａｓ（　）　＋　，　。＋　一５ｅ　）≥（ｎ　一￣）ｌｌＳｖ。＋　ｌｌ　一ＫＨＳｅｎｌｌ。．　在不致引起混淆的情况下省略下标．注意到　０。（　）一０（乱）＝五　，　这里，ｕ－　Ｉ　ｓ＝　ａ￣（ａＵ。＋（１一ａ）ｕ）ｄｏＬ．记０　：０，…ｓＩＵ￣，于是　舀　一ｎ　＝Ⅱ－ｉ饥ｔｕ这里，“－　Ｉ￣　ｓ＝一　（１一　）０　（ｐ【　ｕｓ＋（１一　）叫＋（１一Ｚ）ｕｓ）　ｄ　．从而　［ｎ。（　）一０（　）］如　＋口　（　）（　＋　一Ｖｓ）如（　。＋Ｕ）　［（面，ｕｓ—ｎ　）ｕ　＋０　＋　］疋ｕ＋ｎ　（　。＋　一Ｖｓ）ｃＳ＝ｖ。　（“－　ＩＩ　８　。ｖ　＋０　＋　）　钆＋０　（　＋　一Ｖｓ）　．　于是利用分部求和，并注意到由（５．９）和假设２，ｕ－　ＩＩ　８和ｎ，ｕｓ有界，我们得到　Ｑｉ＋　＝　一（（“－　１１ｕ８　＋ｎ　。＋　）　＋ｎ　（　＋　一Ｖｓ）Ｓｖ　，如。＋　一ｃＳｅ　）　ｌＩ　＋　ＩＩ。＋￡Ｉ　Ｉ＋　Ｉ　Ｉ＋　ＩＩ　ｅ　ＩＩ。　＋　（Ｉ　ＩＩＩ　＋ＩｌＳｖ。Ｉ　ｌ）（Ｉ　ｌ。ｌ『　＋ｌＩ　。＋　ｌｌ。）．　此外，我们有　，　（　）一，（　）＝咒　＋ＪＦｔ　ｓ　巩”　十ＪＦｔ　　ｓ　吼”。，咒　一　＝船　，　…　这里，咒　＝　咒（ａ　＋（１一Ｑ）　，　，　）ｄ　，等等．于是，类似地，　ｌ，　（　）一，（ｕ）＋Ｌ（／ｔ　ｓ＋ｌ（　）　＋　一　】）ｌ　（Ｉ　。Ｉ。＋Ｉ如　ｌ　＋Ｉ　＂　Ｉ　＋ＩＶ８＿卜　Ｉ＋Ｉ以　＋　【＋Ｉ吼　卧　１）．　于是　Ｑ　＋　ｓＩＩ　＋ｌｆ　ｓｌ　ｌ）（１ｆ　ｓｌｌ。＋１１５ｖｓＩＩ　）丁＋ＫＩＩＲ１ＩＩ　７－　＋　１１２￣－＋　ｌ￣＋１１１　＋ｌ１　¨　（５．８）　（５．９）　（５．１０）　（５．１１）　（５．１２）　３期　崔霞等：守恒型扩散方程非线性离散格式的性质分析和快速求解　２３９　综合（５．８），（５．１０），（５．ｉｉ）和（５．１２），并利用　ｌｌｖＳ＋ｌｌｌ。　￡ｌ　ｌ对充分小的ｒ，整理得到　Ｉ　Ｊ２ｒ２＋ＫＩｌ￣ｎｌＩ　ｌ　ｌ］］２７－ｎｔ－ＩＩｖｓ＋ｌＩ　Ｌ２＋Ｉ　ＪＳｖ￣＋ｉＩＩ。　／￣ｌ（１ｌｖ。１ｌ　＋Ｉ　。ＩｌＩＬ）（１ｌｖ　Ｉ１。＋ｌｌ　ＩＩ　）＋膨（　Ｉ　ＩＪ　＋ｌｌＩ　。Ｉｌ　）ＩＩ　。＋　ｌ　Ｉ＋弱（ＩＩＲ￣＋　ｌｌ。丁＋ＩＩｄｔｅ　Ｉｌ　下＋ｌ＿ｅ　ｌ　＋ｌ＿　ｌｅ”Ｉｌ。）．　利用引理３，上式右端最后一项　面（＾　＋Ｔ４）．　记Ｙ。＝　。ｌＩ　＋Ｉ　。　由（５．７），（５．４）和引理３，容易给出初始估计　（５．１３）　ｌＩｖ（。）ｌＩ。＋ｌｉｌｙ（。　Ｉｌ　（　＋７＿　）．　（５．１４）　利用离散逆不等式　ｕ。ｌ　＋Ｉｌｌ　ｌｊ　于是，由（５．１３）可得到　Ｙ８＋１　Ｋｇｈ—ｄＹ　（５．１５）　Ｃｌｙ２＋Ｃ２ｙ３Ｙ　＋１＋　￣，　Ｖｓ　０．　（５．１６）　这里，Ｃ１＝瑶Ｒｌｈ＿。。，　＝瑶　ｈ＿。。，　＝ｍａＸ｛凰，　１蚝－）（　＋Ｔ４）．于是，　Ｙｏ　２Ｃ３，　（５．１７）　在假设４下，利用引理３，容易验证，当ｈ充分小时，对ｄ　３，　４　（　１＋　）：４瑶（露ｌ＋／￣－２）ｍａｘ｛／￣４，１Ｒ￣｝ｈ—ｄ（　＋Ｔ４）　１（５．１８）　于是利用引理２，可以得到　Ｙ。　２０３，Ｖｓ　１．　（５．１９）　取正常数露＝Ｖ＇—ｍａｘ｛４Ｋ—４，２Ｋ５｝，于是，Ｉ　Ｉｌ＋ＩＩ如ｓｌＩ　Ｋ（ｈ２＋７－。）对所有ｓ　０一致地成立　进一步地，注意到Ｕ。＝Ｖ。＋札，故对ｄ　３，　ｌ　【ｌｌｏ。　Ｉｌｕ。ｌＩｏｏ＋ｌｌｕｌＩｏ。　Ｋｏｈ一譬Ｉ　Ｉ。ｌｌ＋　Ｋｏｈ一　霞（　＋７＿。）＋Ｋ６　Ｋ７＋　取常数Ｒ０　ｊ　＋／／６，于是（５．９）成立．定理５的结论获证．　６．Ｐｉｃａｒｄ—Ｎｅｗｔｏｎ迭代的收敛速度分析　考虑迭代解到非线性全隐离散格式解的收敛速度．记　。　＝％＋　‘　一　，有　２４０　计算数学　定理６．在假设１—４下，对于　＝０／　＝１，Ｐｉｃａｒｄ／Ｎｅｗｔｏｎ迭代（５．１）一（５．３）的解收敛　它们以线性／－次的速度收敛到全隐离散格式（２．１）一（２．３）的解．即有　１ｉｍ　ｌｌ　＋　（　）ｌＩ：Ｏ；　进一步地，对于Ｎｅｗｔｏｎ迭代，存在不依赖于　和丁的正常数　，使得　（６．１）　ｌ　ｌ叫（　＋　）ｌ　霞（ｌ１＋Ｉ　ｌｎ　ｈ１）ｌｌＳｗ（　）ＩＩ　．　证明．这里仅给出对Ｎｅｗｔｏｎ迭代的证明．略去更简单的关于Ｐｉｃａｒｄ迭代的证明．　将（５．１）一（５．２）与（２．１）一（２．２）相减，并注意到（５．３），得如下误差方程　（６．２）　昙　ａｎ＋ｌ（ｓ）（　叫州　１））　（【０　＋　（　）（　）一ａｎ＋ｌ（　）］　ｎ＋１）　＋　（｛０　＋　（　（　）【　＋　（。＋　）一ｗ　＋　（　】）　［叫　＋　（　’＋　＋　】）　］　＋［　＋　（　（　）一　＋　（　）＋ＯＬ（ｆ　＋　（　（　）［叫　＋　（　＋　）一Ｗ　＋　（　】）　］，　ＩＰｓ；（６．３）　叫　（卧　‘。　＝ｏＢＰｓ；　ｓ＝０，１…２．．；（６．４）　（６．５）　７－　￡　，ＡＰｓ．　为记号简单，在不引起混淆的情况下，再次略去上标礼＋１以及上标８和８＋１两边的括　号．例如，记　＝叫　‘　，等等．以叫　ｈｌｈｚ乘以（６．３）两端，并对所有内点求和．记所得等　式为Ｚ。＋　＝　＋　＋　“．先假设　ｌＩ　ｌｌ。。　Ｋｏ．　显然，　（６．６）　ｚｓ＋　芸　ＩＩ叫ｓ＋　ｉ　ｎ。＋。　ｉｌｓｗ８＋１　ｉｌｚ．　（６．７）　利用引理３，可知在假设４下，ｌＩ，￣ｕｉｉ。。　Ｋｈ一　ｅｌｌ＋ｌｌ　ｌｌｏ。　Ｋ（这里ｄ　４）．于是类　似于（５．１１）的推导，利用分部求和，可以得到　ｓ　＋　＝　一（ａ　（　）一ａ（ｇ）］ｓｕ＋口　（　）（叫　＋　一Ｗ　）　（　。＋　），５ｗ　＋　）　（（ａ　Ｗ。＋ｎ　。＋　）　＋０ＩＳ（ｗ。＋　一Ｗ　）Ｓｗ。，５ｗ。＋　）　Ｋｌｌｗ　＋　ＩＩ。＋￡Ｉ　Ｉ叫。＋　ＩＩ。＋Ｋｉｉｗ　ｌｉ４＋Ｋｉｉｗ　ｌ　Ｊ　Ｉ　彬　ｌ　＋Ｋｉｌｉｗ　＋　ｌｌ　ｌ　Ｉ叫　Ｉ　Ｉ（６．８）　这里，“＾　Ｈ　８＝一　知它有界．　（１一　）０　（Ｚ［ａｕ　＋（１一　）　＋（１—９）ｕ　）　ｄ　，利用（６．６）和假设２可　此外，类似地有　Ｉ．厂　（　）一ｆ（Ｕ）＋Ｌ（ｆ¨（　）［　。＋　一Ｗ　］）ｌ　ｇ（１ｗ　Ｉ。＋ＩＯｘｗ。Ｉ　＋ＩＯｙｗ　ｌ　＋ＩＷ　＋　ｌ＋ｌ以叫　＋　ｌ＋Ｉ　叫　＋　Ｉ）　３期　崔霞等：守恒型扩散方程非线性离散格式的性质分析和快速求解　２４１　进一步地，利用ＨＳｌｄｅｒ不等式，有　＋　ＫＩ１ｗ　＋　ｌ『ｏ。ｌ　ｌ伽　ｌ『。＋ＫＩ１ｗ　＋　Ｊ　Ｊ　叫　＋　ｌｌ。＋ＫＩ１ｗ　＋　Ｊ　Ｊ。．　（６．９）　综合（６．７），（６．８）和（６．９），得到　昙＝１　１１ＷＳｑ－１　ｌｌ。＋。　ｌ　ｌ叫ｓ＋　Ｊｌ。　ＫＩＩＵ２ｓ＋ｌ　Ｉｌ。＋￡１１５ｗ￣＋１　ｌｌｚ＋ＫＩＩＷｓ　＋ＫＩＩＷｓ　ｌｌ　ｌ　ｌ叫ｓ　Ｊｌ　＋ＫＩＩ叫　＋１ｌ】。。ｌ　ｌｆｌｊｊ　ｌｌ。＋ＫＩｌ锄　＋　ｊｌ　ｊ　ｌ１。．　（６．１０）　利用Ｓｏｂｏｌｅｖ不等式，ｌＩ叫　ＫＩｌ￣ｗ　ＩＩ叫　ｌｌｏ。　ＫＩ　Ｉｎｈｌｌ１５ｗ　ｌｌ，于是整理（６．１０）得到　ｌＩ叫　＋　ｌｆ。＋ｌｌ　叫　＋　Ｊ　ｌＫｌｌ￣ｗ　ｌｌ　＋ＫＩＩｎｈｉ。Ｉ　Ｉ叫　ＩＩ　＋Ｋｌｉｎｈｉ。ｌｆ　鲫　Ｉｌ　ＩＩ　叫　＋　ｌ　ｌ．　故存在正常数詹　，使得　（１＋Ｉ　ｉｎｈ１）ｌｌ￣ｗ　＋　＿　ｌ／￣ｌ（１＋Ｉ　Ｉｎｈｉ）。Ｉ　ｌ『ｌ。＋／￣１（１＋ｌ　ｉｎｈｉ）。Ｉ　Ｉ叫　ｌｌｌ　ｊ鲫　＋　＿１　．记Ｙ　＝Ｋ１（１＋１　ｉｎｈ１）ｉｉ￣ｗ。ｌｌ，于是由上式可以得到　ｙ　＋１　ｙ　＋ｙｓｙ　＋１，　Ｖｓ　０．　（６．１１）　因此，只要　ｙｏ＝　１（１＋『Ｉｎｈ１）ｌｌ￣ｗ＜。）１１　Ｉ（６．１２）　即有　Ｙｓ＋１　去，Ｙｓ＋１　２　，Ｖｓ　０．　（６．１３）　于是　＋　（２　）。　…　（２　３）　¨１．　故若２　＜１成立，则序列＜　ｓ）为压缩序列，且满足（６．１）．在假设（６．１２）下，易知２ｙ３　１＜１．　而Ｙｓ＋１　２　即为　ｌ１６叫　＋　ｌＩ　２霞１（１＋ｆＩｎｈ１）Ｖ￣。ｌｌ　．　（６．１４）　取　＝２　１，（６．１４）即为（６．２）．　注意到（６．５），利用引理３，我们有　１Ｉ　Ｉ叫（０　ｌ　ｌＩ￣ＩＫｖ￣Ｉｌｄｔｅ『１Ｌ２（日　）＋Ｋｗ。Ｉｌ　ｔ　ｌ１Ｌ。。（日　）　岛（　＋７－２），　（６．１５）　因此，当ｈ和７＿充分小时，（６．１２）自然成立，　此外，由离散逆估计和引理３，对ｄ　４，Ｉｌｅｌｌ。。　Ｋｏｈ一　ｄ　（　。＋７－。）　乜．又由ｌＩ叫　ｌｌｏ。　Ｋｌ　ｉｎ　ｈ１１１５ｗ　Ｉ　１ＫＫｉ－　Ｙ　￣ＫＫｆ　（Ｖｓ　０），利用Ｕ　＝Ｗｓ＋Ｕ＝Ｗｓ＋ｅ＋ｕ，可知　ｌｌ　ＩＩｏｏ　Ｉ１ｗ　Ｉ　Ｊ。。＋ｌｌｅｌｌｏ。＋ｌｌ　　ＩＪｏ。　１　ｎｎ＾１－　＋岛＋Ｋ＝　，　Ｖｓ　０．　取常数　，于是假设（６．６）成立．从而定理６得证．　２４２　计算数学　７．数值实验　本节给出模型问题的数值实验结果，以验证理论分析的结果和考察不同迭代的性能．将　二阶时间精度Ｎｅｗｔｏｎ迭代（Ｎｅｗｔｏｎ２）与一阶时间精度Ｎｅｗｔｏｎ迭代（Ｎｅｗｔｏｎ１）和二阶时间　精度Ｐｉｃａｒｄ迭代（Ｐｉｃａｒｄ２）分别作了比较，表明了Ｎｅｗｔｏｎ２具有较高精度和效率．　在（０，１）×（０，１）Ｘ（０，２】上考虑问题（１．１）一（１．３）．第一个模型具有齐次Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边界条件，　其扩散系数、源项和初值条件分别为：　ａ（ｘ，Ｙ，ｔ，Ｊｕ）＝　０．４　ｓｉｎ［（０．５＋ｅ一　）ｓｉｎ（￣ｒｘ）ｓｉｎ（Ｔｒｙ）一Ｕ］＋０．５，　１－２（０．５＋ｅ　）ｓｉｎ（￣ｘ）ｓｉｎ（￣ｙ）一钆＋０．５　ｓｉｎ（Ｔｒｘ）ｓｉｎ（￣ｙ）　ｆ（ｘ，Ｙ，ｔ，¨，ｕ　，ｕ　）＝　７＋ｓｉｎ（￣ｘ）ｃｏｓ（￣ｙ）ｕ　一ＣＯＳ（￣Ｘ）ｓｉｎ（￣ｒｙ）ｕ　，　ｕ（ｘ，Ｙ，０）＝　１．５　ｓｉｎ（￣ｘ）ｓｉｎ（￣ｙ）．　该问题的真解是ｕ（ｘ，Ｙ，ｔ）＝（０．５＋ｅ　）ｓｉｎ（￣ｒｘ）ｓｉｎ（￣ｒｙ）．　在精度考察中，每个数值实验取四组网格．对空间收敛性的考察中，取空间网格剖分为　３０　Ｘ　３０，６０　Ｘ　６０，９０×９０和１２０　Ｘ　１２０，相应的时间网格为６０，１２０，１８０，２４０．在时间收敛性的　考察中，空间网格固定地取为１２０×１２０，时间网格取１０，２０，３０和４０．　迭代收敛阈值取为１．０ｅ一１２，每一时间步的最多迭代次数为５０次．以非线性迭代和线性　迭代分别指称将非线性方程线性化的迭代（即从第８到第８＋１次的迭代）和求解线性代数方　程组所需的迭代．以简记“　”表示ｌｌｅｌｌＬ￣误差，Ｈ　，　（　），　ｏ。（日　）有类似的含义．　表１给出了Ｎｅｗｔｏｎ２迭代解与原问题真解之间的空间收敛误差．显然，它们均约为２阶．　对于Ｐｉｃａｒｄ２有类似的结果．表２给出了迭代解与原问题真解之间的时间收敛误差．Ｎｅｗｔｏｎｌ　和Ｎｅｗｔｏｎ２的收敛阶分别约为１和２．这与理论分析的结果是一致的．　表１模型１　Ｎｅｗｔｏｎ２迭代的空间收敛误差　图１比较了Ｎｅｗｔｏｎｌ和Ｎｅｗｔｏｎ２迭代在６０　Ｘ　６０　Ｘ　１２０的网格上收敛误差随时间的演化，　表明了Ｎｅｗｔｏｎ２迭代的高精度．　表３比较了它们的精度和效率．采用６０　Ｘ　６０的空间网格和不同的时间步长丁＝Ｔ／Ｍ进　行模拟．可见，Ｎｅｗｔｏｎ２迭代可用较少的时间获得更精确的结果．为得到类似的精度，Ｎｅｗｔｏｎｌ　迭代需要小得多的时间步长和数十倍的计算时间，即Ｎｅｗｔｏｎ２远比Ｎｅｗｔｏｎｌ精确和高效．　表４比较了Ｐｉｃａｒｄ２和Ｎｅｗｔｏｎ２迭代的计算效率．这里，“Ｔｏ１．１ｉｎ．”，“Ｔｏ１．ｎｏｎ］．”和　“Ｔｉｍｅ”分别表示总体线性和非线性迭代次数以及所需的计算时间，“Ａｖｇ．１ｉｎ．”和“Ａｖｇ．ｎｏｎ—　１．”分别表示每一时间步所需的平均线性和非线性迭代次数．可见，Ｐｉｃａｒｄ２迭代以线性速度收　３期　崔霞等：守恒型扩散方程非线性离散格式的性质分析和快速求解　２４３　表２模型１　Ｎｅｗｔｏｎｌ和Ｎｅｗｔｏｎ２迭代的时间收敛误差．　图１模型１　Ｎｅｗｔｏｎ１和Ｎｅｗｔｏｎ２迭代收敛误差的比较　表３模型１　Ｎｅｗｔｏｎｌ和Ｎｅｗｔｏｎ２迭代精度和效率的比较．　Ｎｅｗｔｏｎ２　Ｍ　２　Ｎｅｗｔｏｎｌ　１２０　１．２９２ｅ一４　５．７４０ｅ一４　２４０　９．４０６ｅ一５　４．１７８ｅ一４　３６０　８．２４０ｅ一５　３．６６２ｅ－４　２４００　６．２６８ｅ一５　２．７９３ｅ．４　３０００　６０００　１２０　５８４３ｅ一５　６．１９８ｅ．５　６．０６０ｅ．５　２．７６３ｅ一４　２．７０２ｅ一４　Ｈ　２．６０７ｅ一４　ｏ。（　。）　８．５９９ｅ＿５　４．８５６ｅ一４　２．８７８ｅ一４　２．２１５ｅ一４　１．０９７ｅ一４　１．０５８ｅ一４　９．８２２ｅ－５　。。（Ｈ　）　３．９５７ｅ．４　２．１７３ｅ一３　１．２８１ｅ一３　９．８３８ｅ－４　４．９５５ｅ－４　４．７９３ｅ－４　４．４７４ｅ．４　Ｔｉｍｅ　１５５　２０５　３９６　４８７　２８７３　３５５８　６８９５　敛，而Ｎｅｗｔｏｎ２迭代以二次速度收敛，对该算例，Ｎｅｗｔｏｎ２远优于Ｐｉｃａｒｄ２迭代，获得了二至　三倍的加速．　图２比较了在１２０×１２０×２４０网格上Ｐｉｃａｒｄ２和Ｎｅｗｔｏｎ２迭代的收敛误差和平均迭代　次数随时间的发展变化情况．从中可以形象地看出，Ｎｅｗｔｏｎ２较Ｐｉｃａｒｄ２迭代更为高效．　计算数学　２０１５在　¨　他　们　：咖　瑚　睢　ｇ　：呈　：ｇ　∞　０　掘　表４模型１　Ｐｉｃａｒｄ２和Ｎｅｗｔｏｎ２迭代的效率比较　图２模型１　Ｐｉｃａｒｄ２和Ｎｅｗｔｏｎ２迭代的收敛误差（左）和迭代次数（右）的比较　第二个模型具有齐次Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边界条件，其扩散系数、源项和初值条件分别为　－ｔＸ（Ｘ一１）Ｖ（Ｖ一１１一札＋１．０，　ａ（ｘ，Ｙ，ｔ，Ｕ）　＝ｅ－ｆ（ｘ，Ｙ，ｔ，　ｕ，札　，　）　＝一札一２ｅ一　ｘ（ｘ一１）一２ｅ一　Ｙ（Ｙ一１）　ｘ（ｘ一１）（２ｙ一１）ｕ　＋（２ｘ一１）ｙ（ｙ一１）扎　，　ｘ一１）ｙ（ｙ一１１．　ｕ（ｘ，Ｙ，０）　＝ｘ（其真解是ｕ（ｘ，Ｙ，ｔ）＝ｅ－ｔＸ（Ｘ一１）ｙ（Ｖ一１）　迭代收敛阈值取为１．Ｏｅ一１０．表５给出Ｎｅｗｔｏｎ２迭代的收敛性结果．图３给出Ｎｅｗｔｏｎｌ　和Ｎｅｗｔｏｎ２迭代在６０×６０×１２０网格上收敛误差的比较．二阶时间精度Ｎｅｗｔｏｎ迭代再次表　现出了明显的高性能．　３期　崔霞等：守恒型扩散方程非线性离散格式的性质分析和快速求解　２４５　表５模型２　Ｎｅｗｔｏｎ２迭代收敛误差．　图３模型２　Ｎｅｗｔｏｎｌ和Ｎｅｗｔｏｎ２迭代收敛误差的比较　参考文献　Ｙｕａｎ　Ｇ　Ｗ　Ｈａｎｇ　Ｘ　Ｄ．Ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａ－　ｔｉｏｎｓ［Ｊ１．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００６，２４（３）：４１２．４２４．　【２］　袁光伟，杭旭登，盛志强，岳晶岩．辐射扩散计算方法若干研究进展［Ｊ］．计算物理，２００９，２６（４）：４７５　５００．　［３　３］Ｙｕｅ　Ｊ　Ｙ，Ｙｕａｎ　Ｇ　Ｗ．Ｐｉｃａｒｄ—Ｎｅｗｔｏｎ　ｉｔｅｒａｔｉｖｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｗｉｔｈ　ｔｉｍｅ　ｓｔｅｐ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｆｏｒ　ｍｕｌｔｉｍａｔｅｒｉａｌ　ｎｏｎ—ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｒａｄｉａｔｉｏｎ　ｄｉｆｕｓｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，２０１１，　１０（４）：８４４－８６６．　Ｒａｕｅｎｚａｈｎ　Ｒ　Ｍ，Ｍｏｕｓｓｅａｕ　Ｖ　Ａ，Ｋｎｏｌｌ　Ｄ　Ａ．Ｔｅｍｐｏｒａｌ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｏｎｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｒａｄｉａｔｉｏｎ　ｄｉｆｕｓｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｅｍｐｌｏｙｉｎｇ　ａ　Ｓａｈａ　ｉｏｎｉｚａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｐｈｙｓｉｃｓ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ．　２００５，１７２：１０９—１１８．　Ｏｌｓｏｎ　Ｇ　Ｌ．Ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍｕｌｔｉ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｆｌｕｘ—ｌｉｍｉｔｅｄ　ｎｏｎｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｒａｄｉａｔｉｏｎ　ｄｉｆｕｓｉｏｎ　ｃｏｕｐｌｅｄ　ｔｏ　ｍａｔｅｒｉａｌ　ｃｏｎｄｕｃｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ　ｔｉｍｅ　ｄｉｓｃｒｅｔｉｚａｔｉｏｎｆＪ１．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，２００７，２２６：１　１８１—１　１９５．　Ｚｈｏｕ　Ｙ　Ｌ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　Ｍｅｔｈｏｄｉｍ１．　Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ．１９９０．　【７】Ｃｕｉ　Ｘ，Ｙｕｅ　Ｊ　Ｙ．Ａ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ａ　ｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｃｏｕｐｌｅｄ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ａｎｄ　ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅ．．　ｍａｔｉｃｓ，２０１０，２３４（２）：３４３—３６４．　２４６　计算数学　２０１５焦　【８］Ｃｕｉ　Ｘ，Ｙｕｅ　Ｊ　Ｙ，Ｙｕａｎ　Ｇ　Ｗ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｃｈｅｍｅ　ｗｉｔｈ　ｈｉｇｈ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｃｏｕｐｌｅｄ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ—　ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ　ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０１１，２３５（１２）：３５２７—　３５４０．　【９】Ｃｕｉ　Ｘ，Ｙｕａｎ　Ｇ　Ｗ，Ｙｕｅ　Ｊ　Ｙ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　ｆｕｌｌｙ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ｓｃｈｅｍｅ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｌｆｕｓｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｗｉｔｈ　ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ　ｔｉｍｅ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ［Ｊ１．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　Ｐａｒｔｉａｌ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．ｄｏｉ：１０．１００２／ｈｕｍ．２１９８８．接受发表．　『１０］Ｚｈｏｕ　Ｙ　Ｌ．Ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｃｈｅｍｅｓ　ｗｉｔｈ　ｎｏｎｕｎｉｏｆｒｍ　ｍｅｓｈｅｓ　ｏｆｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ】．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１９９６，ｌ４（４）：３１９—３３５．　ｆ１１１　Ｙｕａｎ　Ｇ　Ｗ．Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ａｎｄ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｎｏｎｕｎｉｆ０ｒｍ　ｍｅｓｈｅｓ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ　Ｎｕｍｅｒｉｃａ　Ｓｉｎｉｃａ，２０００，２２（２）：１３９—１５０．　『１２］Ｅｙｍａｒｄ　Ｒ，Ｇａｌｌｏｕ￣ｔ　Ｔ，Ｈｅｒｂｉｎ　Ｒ．Ｔｈｅ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｖｏｌｕｍｅ　Ｍｅｔｈｏｄ［Ｇ１，Ｈａｎｄｂｏｏｋ　ｏｆ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ａｎａｌ－　ｙｓｉｓ，Ｃ！ｉａｒｌｅｔ　Ｐ　Ｇ，Ｌ　Ｌｉｏｎｓ　Ｊ，ｅｄｓ．，Ｎｏｒｔｈ－Ｈｏｌｌａｎｄ，Ａｍｓｔｅｒｄａｍ，２０００，７：７１３—１０２０．　【１３】袁光伟．两维非线性抛物型方程加速迭代方法的构造、收敛速度与误差估计［Ｇ】．计算物理实验室年报，　２００５：５７６—６１　３．　ＰＲｏＰＥ　’Ｙ　ＡＮＡＩ』ＹＳＩＳ　ＡＮＤ　ＱＵＩＣＫ　ＳｏＬＵＴＩｏＮＳ　ＦｏＲ　ＮｏＮＬＩＮＥＡＲ　ＤＩＳＣＲＥＴＥ　ＳＣＨＥＭＥＳ　ＦｏＲ　Ｃ０ＮＳＥＲ咖ＩＶＥ　ＤＩＦＦＵＳＩｏＮ　ＥＱＵＡＴＩｏＮ　Ｃｕｉ　Ｘｉａ　Ｙｕｅ　Ｊｉｎｇｙａｎ　（Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｋｅｙ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ｏｎ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｐｈｙｓｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１　０００８８，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ｏｆｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｕｌｌｙ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ（ＦＩ）ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｓｃｈｅｍｅ　ｗｉｔｈ　ｓｅｃｏｎｄ．．ｏｒｄｅｒ　ｔｉｍｅ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅ　ｄｉｌｆｕｓｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｉｔ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　ａ　ｕｎｉｑｕｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ＦＩ　ｓｃｈｅｍｅ．Ａ　Ｐｉｃａｒｄ—Ｎｅｗｔｏｎ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｓｃｈｅｍｅ　ｗｉｔｈ　ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ　ｔｉｍｅ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｉｔ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｈａｓ　ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｂｏｔｈ　ｉｎ　ｓｐａｔｉａｌ　ａｎｄ　ｔｅｍｐｏｒａｌ　ｖａｒｉａｎｔｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｐｒｏｂｌｅｍ，ａｎｄ　ｉｔ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｓｃｈｅｍｅ　ｗｉｔｈ　ａ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｓｐｅｅｄ．Ｔｈｅ　ｑｕｉｃｋ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｓ　ｒｅａｌｉｚｅｄ．Ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｈｅｒｅ　ａｌｓｏ　ａｄａｐｔ　ｔｏ　ａｎａｌｙｚｅ　ｆｉｒｓｔ—ｏｒｄｅｒ　ｔｉｍｅ　ａｃｃｕｒａｔｅ　ｓｃｈｅｍｅ，ａｎｄ　ｃａｎ　ｂｅ　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｔｏ　ｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎ—ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｔｅｓｔｓ　ｖｅｒｉｆｙ　ｔｈｅ　ｈｉｇｈ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ａｎｄ　ｅｆｉｆｃｉｅｎｃｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ　ｔｅｍｐｏｒａｌ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　Ｐｉｃａｒｄ．Ｎｅｗｔｏｎ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅ　ｄｉｆｕｓｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｕｌｌｙ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｓｃｈｅｍｅ；　ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ　ｔｅｍｐｏｒａｌ　ａｃｃｕｒａｃｙ；ｕｎｉｑｕｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ；ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ　２０００　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ：６５Ｍ０６．６５Ｍ１２．６５Ｂ９９